P'nin kararsız nitelikleri, NP'ye karşı P'ye karar vermede bir engel oluşturuyor mu? (cevap: belki)

Bağlantılı beş soru sorulur ve tek bir entegre cevap umulur:

• S1: Do dilleri vardır mevcut tanınan sadece bu Turing makineler tarafından  P çalışma zamanı üsler undecidable vardır ?$L$$P$
• S2: Bu Turing makinelerinin örnekleri sonlu olarak inşa edilebilir mi?
• S3: Bu Turing makineleri somut olarak somutlaştırılabilir mi? ( örneğin , bunları sonlu bir şekilde inşa etmek yerine "tahmin" eden kehanetlerle)
• S4: P (çalışma zamanı üslerinin yanı sıra) diğer hangi özelliklerinin şu anda kararsız olduğu biliniyor? Bu soru hangi özellikleri için açıktır?$P$
• S5: kararsız nitelikleri P ≠ N P'nin karar verilebilirliğini engelliyor mu?$P$$P \ne NP$

Q1'de " Lance Fortnow'un önerdiği cevabı hariç tutan " kelimesini dikkatlice not edin .

Sonuçlar ve Topluluk Wiki'sine Dönüşüm

• "P'nin kararlaştırılamaz nitelikleri, NP'ye karşı NP'ye karar vermede bir engel oluşturuyor mu?" Sorusunun yanı sıra, doğal olarak kendisiyle ilişkilendirilmiş çok sayıda spesifik soru (yukarıda Q1-4 gibi) gibi açık ve zor olduğuna inanılıyor.

• Juris Hartmanis'in 1978 monografı Fiziksel Hesaplamalar ve Olası Karmaşıklık Özellikleri literatüre iyi bir giriş sağlar ve (görünüşe göre) Hartmanis'ten bu yana yayınlanan bir inceleme yoktur.

• Bu soru sınıfı, kesin deliller bulma zorluğunun, iyi başlangıç ​​tanımları seçme zorluğuyla yakından karıştırıldığı konusunda yeterince keşfedilmemiştir.

• Travis Service ve Alex ten Brink tarafından sağlanan düşünceli açıklamalar ve içgörülü kanıt taslakları kabul ve takdir edilmektedir.

Soru açık olduğundan ve birden çok matematiksel weblog iş parçacığında ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) tartışıldığı için bu soru Topluluk Wiki'ye dönüştürülmek üzere işaretlendi.

Güncelleme II ve Özet

Juris Harmanis'in 1978 monografı Uygulanabilir Hesaplamaların ve Sağlanabilir Karmaşıklık Özelliklerinin 1–5'e derinlemesine bir yanıt olarak okunabileceğinin farkına vardım . Ayrıca, aşağıda Travis Service ve Alex ten Brink tarafından sağlanan (mükemmel) Q1 ve Q4 kanıt çizimleri , Hartmanis'in genel sonuçlarının modern bir doğrulamasını ve genişletilmesini sağlar:

Yalnızca resmi olarak kanıtlanabilecek hesaplamaların özelliklerini göz önüne alırsak, hesaplamaların karmaşıklığı ile ilgili sonuçlar oldukça radikal bir şekilde değişir (Hartmanis tarafından vurgulanır) ...

Bu nedenle, belirli bir programla aynı işlevi hesaplayan tüm programların en iyi duruma getirilmesiyle ilgili sonuçların, verilen programla eşdeğer olduğu resmi olarak kanıtlanabilen tüm programlar hakkındaki en iyi sonuçlardan farklı olmasını beklemeliyiz. ...

Bu ünlü sorunun [ ] grubu teori, resmi bir matematiksel teoride çözülebilir gibi olmayabilir.$P\overset{?}{=}NP$

Hem Hartmanis'in monografisinden hem de Travis ve Alex'in verdiği cevaplardan, Q5'in karmaşıklık teorisindeki mevcut teknolojinin oldukça ötesinde olduğu açıktır . Ayrıca, bu sorular / cevaplar, dikkatli bir şekilde tanımlayıcı düzenlemeler gerektirecek ve monografik uzunluktaki açıklamaları haklı çıkaracak kadar incedir ... umarım insanları başka cevaplar göndermekten vazgeçirmez. :)

Daha fazla teknik tartışma için, Joel David Hamkins'in Math üzerindeki cevabına bakınız . Bir problem eş zamanlı olarak polinom zamanı ve kararsız olabilir mi? (Alex ten Brink tarafından önerilir).

Hartmanis'in monografisinde “fonksiyonların hesaplanması” yerine “dinamiklerin simülasyonu” ifadesinin yerini alırsa, sonuç sistem mühendisliğinin karmaşıklık teorik sınırlarına bir inceleme olarak okunabilir… mühendislerin bunları önemsemesinin pratik nedeni budur sorunlar.

Hartmanis'e karşı zıt bir görüş, Oded Goldreich tarafından CACM editörüne "Hesaplamalı Karmaşıklık Üzerine" başlıklı bir mektupla dile getirildi :

Ne yazık ki, şu anda verimli hesaplama ile ilgili çoğu doğal soruya iyi teorik cevaplar vermiyoruz. Bu, yanlış soruları sorduğumuz için değil, bu soruların çok zor olduğu için geçerlidir.

Elbette hem Hartmanis'in hem de Goldreich'in görüşlerinin doğru olduğu mükemmel bir şekilde düşünülebilir, örneğin, PvsNP'nin ayrılabilirliğinin kararsızlığının resmi bir kanıtı, her iki bakış açısını da doğruladığı kabul edilebilir.

Güncelleme I

Travis Service ve Alex ten Brink tarafından yapılan düşünceli yorumlar (aslında) ilk çeyrekte "doğrulanamayan" ifadesinin "doğrulanabilir karar verilemez" ile eşanlamlı olmadığını ve 2-5 . Hangi tanım seçiminin en güçlü teoremlere yol açacağı (bana göre) ve aynı zamanda P sınıfı sezgimizi en iyi şekilde yakalayacağı hiç de açık değil.

Felix Klein'ın İlköğretim Matematiğinde İleri Bir Bakış Açısından Bir Yorum: Geometri (1939) akla geliyor:

Geometri sistemimize ek olarak eklememiz gereken naif alan algısında az ya da çok kesin bir şekilde ortaya çıkan kavramın bir başka örneği de (keyfi) bir eğri kavramıdır . Her insan o kadar çok matematik öğrenene kadar bir eğrinin ne olduğunu bildiğine inanıyor ve sayısız olası anormallik onları karıştırıyor.

Eğrilerde olduğu gibi, Turing makineleri tarafından kabul edilen dillerle  … bir zamanlar tüm karmaşıklık sınıflarının en basit ve en doğalları gibi görünen şey, şimdi (sayısız?) Doğrulanamayan ve / veya kararsız niteliklerle beni karıştırıyor . 1–5'in sorulmasındaki geniş motivasyon, bu kafa karıştırıcı çalılıktan bir yol bulmaktı, ancak şu ana kadar verilen cevaplar (Travis Service ve Alex ten Brink tarafından) karışıklık için daha fazla zemin sağladı!$P$

Klein'ın nesil matematikçileri eğriler ve küme teorisi, geometri ve analizin diğer temel unsurları için iyi tanımlamalar bulmak için gayretle çalıştı. İlköğretim düzeyinde genel bakış, Alexander Horned Sphere'in Wikipedia tartışmasında bulunabilir.

      
      R3'te bir kürenin gömülmesi

20. yüzyıl boyunca, Alexander küresi gibi "vahşi manifoldların" analizi, topolojik manifoldlar, parçalı-sürekli manifoldlar ve diferansiyel manifoldlar arasındaki farkların netleştirilmesine yardımcı oldu. Benzer şekilde 21. yüzyılda, ilgili tanımların düzeltilmesi belki de P'nin vahşi dillerini ve vahşi Turing makinelerini evcilleştirmeye yardımcı olacaktır … ancak uygun iyileştirmeleri belirtmek kolay bir iş olmayacaktır.$P$$P$

Arka fon

Bu bağlantılı sorular MathOverflow topluluğu wiki " Matematikte en cazip Turing'in çözülemez problemleri nelerdir ? " Ve " Modern matematikte hangi kavramlar kullanılıyor, ancak açıkça tanımlanmadı? " Sorularından kaynaklanıyor . Özellikle Colin Tan , yukarıda sorulan sorunun sorulmasını istedi. ayrı bir soru olarak gönderildi.

Teknik arka plan için, TCS StackExchange sorusuna " P'de çalışma zamanı sınırları karar verilebilir mi? ", Özellikle Emanuele Viola'nın cevabın "hayır" olduğuna dair kesin kanıtı . Benzer sonuçların Juris Hartmanis tarafından Monograf'ta da uygulanabilir olduğuna dikkat edin. Hesaplanabilir hesaplamalar ve kanıtlanabilir karmaşıklık özellikleri (1978).

Bu haftanın Lance Fortnow / Bill GASARCH weblogun Hesaplamalı Karmaşıklık onların decadal anket barındıran " mu ? Ya değil$P=NP$ " - beşte ve son soru Fortnow / GASARCH soru üzerine davetiye bir yorum istedi.

$L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

DÜZENLE

Aşağıdaki cevabın, orijinal posterin 1. soru ile neyi amaçladığına dair ruhu olduğunu düşünüyorum.

$L \in P$$N$$L$

$N$$L$

$N$$f(n)$$f(n)$

$M$$M$$M$

$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

$M$$L$$M$

$N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

Konu hakkında daha fazla düşündükten sonra, 4. Çeyrek için (olası) bir cevap bulduğumu düşünüyorum .

• S4: P (çalışma zamanı üslerinin yanı sıra) diğer hangi özelliklerinin şu anda kararsız olduğu biliniyor? Bu soru hangi P özellikleri için $P$$P$

Rice'ın teoreminde , çoğu mülk için sorunuzu cevaplayan bir varyasyon olduğunu kanıtladım . Bu sefer kendimi daha açık bir şekilde açıklamaya çalışacağım (Travis Hizmetinin cevabı önceki cevabımdan çok daha açık ve geneldi).

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

Ben senin cevap verebilir Q1 ve böylece de yanıtlayan, negatif içinde Q2 ve Q3 negatif içinde. Q4 veya Q5 hakkında emin değilim .

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

Görünmezlik hakkında bu tür bir düşünce oldukça yaygındır, çok benzer bir konu hakkında bir (blog?) Yayını hatırlıyorum: soru "Pi'nin 'son sıfır' olup olmadığı karar verilebilir mi?" Eğer temsili yeterince aşağı inerseniz ondalık gösterimi. Şu anda durumun böyle olup olmadığını bilmiyoruz. Bunu asla kanıtlayamayabiliriz, hatta aksiyom sistemlerimizden bile bağımsız olabilir (ve dolayısıyla kanıtlanamaz). Ancak, yanıt doğru ya da yanlış olduğundan, doğru dönen bir TM ve yanlış dönen bir TM her iki durumda da karar verir ve bu nedenle sorun karar verilebilir.

O postayı internette bir yerde bulabileceğimi göreceğim.

Düzenle:

Ben buldum Mathoverflow .