Basit (?) Komik bir kombinatoryal problem!

ve t > 0 tamsayısını düzeltelim .$0<E<1$$t>0$

herhangi ve herhangi bir vektör için ˉ c ∈ [ 0 , 1 ] n, öyle ki Σ I ∈ [ n ] c i ≥ D x $n$$\bar{c} \in [0,1]^n$$\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

Durumun doğru mu yanlış mı bilmiyorum. Bence bu doğru.

, ˉ c ∈ { 0 , 1 } n vektörleri için (toplamla ilgili desidered özelliği ile) A ˉ c = ( E × $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ ; bu durumda yalnızca{i| ci=1}.$A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$$\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

Diğer durumlarda , { i | ' daki koordinatı kullanarak iyi bir alt küme oluşturabiliriz (toplam, büyüktür ). c i > E } aynı zamanda, belki de { i | c i ≤ E } başka iyi setler yaratabiliriz!$E \times t$$\{ i ~|~ c_i > E \}$$\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

Yani, kanıtlamak veya hata bulmak! sizin için komik bir oyun olabileceğini umarak!

Sorunun motivasyonu :

Rastgele değişken olduğunu varsayalım , orada "ne kadar rasgelelik" tipik bir ölçüsü X min-entropisidir$X\in \{0,1\}^n$$X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

Bazı sezgisel anlamda min-entropi, ünlü Shannon Entropisinin en kötü durumudur (bu ortalama bir durumdur ).

Bu rastgele değişkenin dk-entropi LOWERBOUND için ilgi vardır Y, muntazam kümesi üzerinde dağıtılır { y | ∑ i y i = t } .$(Z=X \wedge Y| Y)$$Y$$\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

Eğer şanslıysak , “iyi entropi” olan parçalarını yakalayabiliriz ve bu yüzden H ∞ ( X ) ≥ E n sonra H ∞ ( Z | Y ) ≥ E $X$$H_{\infty}(X)\geq En$$H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

Şanslı olma ihtimalimiz nedir?

Sorun iyi çalışılmış bir konudur ve birçok literatür vardır, örneğin bakınız Lemma A.3. Sınırlı Geri Alma Modelinde Sızıntıya Dayanıklı Ortak Anahtarlı Kriptografide

Yazıdaki varsayım geçerli değildir, ancak yorumlarda belirtilen daha zayıf varsayım (zemine göre) geçerlidir. Aslında, daha güçlü bir şey tutar.

---

Lemma 1. Yazıdaki varsayım geçerli değildir. Yani verilen varsayımlar nerede tatmin bir örnek ise, orada

$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$$

Kanıt. , c = ( 1 , 1 , 0.7 ) , E = 2.7 / 3 = 0.9 ve t = 2 olan örneği düşünün . Sonra $n=3$$c=(1, 1, 0.7)$$E=2.7/3=0.9$$t=2$ . Sol taraf için | { S ⊆ [ 3 ] : ∑ i ∈ S c i ≥ 1.8 } | = 2 çünkü heriki 1'in toplamını en fazla 1.7 içermeyenherhangi bir alt küme S ve her iki 1'i içeren sadece iki alt küme ( { 1 , 1 } ve { 1 , 1 , 0.7 } ) vardır. Ve sağ taraf ($E\, t = 1.8$

$$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$$ $S$$\{1,1\}$$\{1,1,0.7\}$$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

---

$\lfloor E\, n \rfloor$

Lemma 2. düzeltin$0<E<1$$n,t>0$$c \in [0,1]^n$$\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$$

$a=\lfloor E\, n\rfloor$$a=E\,n$$E$$c_i$$\sum_i c_i \ge E\,n$$E\,t$$t\le a$

$S\subseteq [n]$$n-d$$d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$$\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$$S$$d$$\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

$S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$$n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

$a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$$a/n = E < 1$$~~\Box$