N terimli monoton CNF için en kısa formül

N değişkeninde ( ) m terimlerine sahip monoton bir CNF formülü, ; burada her , değişkenlerin bazı alt kümelerinin ve ile arasında değişir . f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Örneğin, , 4 değişken üzerinde 2 terimi olan monoton bir CNF formülüdür.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Ben n terimleri ile n değişkenleri üzerinde verilen bir monoton CNF formülü ile aynı işlevi temsil eden değişkenler aynı küme üzerinde en kısa formül (mutlaka monoton, mutlaka CNF, herhangi bir formül yapacak!) Arıyorum. (Terim ve değişken sayısının aynı olduğunu unutmayın.)

Formül oluşturmanın bariz bir yolu, bize boyutunda bir formül verecek olan verilen CNF tanımını genişletmektir . (Formülün boyutunu bir dize olarak yazıldığında formülün uzunluğu olarak tanımlayalım.) Bunun en verimli genel yapı olup olmadığını veya her n-vadeli monoton CNF için bir formül olup olmadığını bilmek istiyorum. boyutta .o ( n 2$O(n^2)$$o(n^2)$

Sadece bunun mümkün olup olmadığını bilmek istiyorum, gerçekten bir algoritma ile ilgilenmiyorum. Bu mümkün değilse, karşı örnek olarak işlev gören bir işlev harika olur. Literatürde bir cevap bulabileceğim göstergeler de takdir edilmektedir.

EDIT: Ben inceler daha açık hale getirmek için bir örnek ekliyorum.

Girdi formülünün . Bu monoton bir CNF formülüdür. Aynı işlevi temsil eden daha kısa bir formül aşağıdaki gibidir: .x 1 ∨ ( x 2 ∧ x 3 ∧ … ∧ x n$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Bir alabilirsiniz bir sayma argümanı kullanarak bağlı düşük değerler: vardır uzun dönem CNFs üzerinde değişkenleri (bu kolaydır ama marka olarak biraz dikkat gerektirir fazla sayım olmadığından emin olun), ancak en fazla büyüklüğünde formülleri (veya hatta devreleri) vardır . e x p ( n 2 ) $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$e x s ( s günlük s ) $n$$exp(s \log s)$$s$

Son faktörünü kazanmak zor olacak çünkü formül boyutunda ikinci dereceden bir alt sınırın kanıtlanmasını gerektirecek ve tahminimce bunun için mevcut birkaç teknik yeterli değil. , dört Rusça benzeri bir teknik kullanarak - en azından devre boyutu için - doğru cevap bile olabilir .O ( n 2 / log n $\log n$$O(n^2/\log n)$

Herhangi bir CNF için, kapatmayı çözünürlük altına alarak ve toplam tüketim eliminasyonu uygulayarak (bir minimum değeri bir alt küme olması gereken) asal etkiler kümesini hesaplayabileceğinizi düşünün.

Bununla birlikte, herhangi bir monoton CNF durumunda , çözünürlüğü kapatma olan (olumsuz değişmezleri var gibi, olası bir çözüm yoktur). Bu nedenle, minimum CNF, tam olarak sahip olduğunuz formül olan asal etkiler kümesidir.F $F$$F$$F$

Tabii ki, yeni değişkenler tanıtmak istemediğinizi varsayıyorum.

Eğer terimi olan bir formülünüz olduğundan emin olmak istiyorsanız, önerdiğiniz gibi, bunu almanın tek yolu eksik değişkenler ekleyerek bazı cümleleri genişletmektir. Böyle bir CNF, sabit bir ve için aynı sayıda değişmez değere (inandığımı önerdiğim boyut ölçüsü) sahip olmalıdır .f $n$$f$$n$