Bir bilgisayarın bir şeyi kanıtlaması neden bu kadar zor?

Bu aptalca bir soru olarak düşünülebilir. Ben bir bilgisayar bilimi bölümü değilim (ve henüz matematik bölümü değilim), bu yüzden aşağıdaki soruların bazı önemli yanlış varsayımları gösterdiğini düşünüyorsanız lütfen izin verin.

Fermat'ın Son Teoremini resmileştirme planları olsa da (bu sunuma bakınız ), bir bilgisayarın Pisagor gibi "basit" bir teoremi bile kanıtlayabileceğini hiç okumadım veya duymadım.

Neden olmasın? Sadece bazı “yerleşik aksiyomlar” tarafından desteklenen bir bilgisayar tarafından tamamen otonom bir kanıt oluşturmanın arkasındaki ana zorluk (/ ler) nedir?

Sormak istediğim ikinci bir soru şudur: Bir bilgisayarın bir teoremi kendi başına kanıtlaması mümkün olmasa da, neden birçok kanıtı resmileştirebiliriz? Neden bu "daha zor"?

Fermat'ın Son Teoremini resmileştirme planları olsa da (bu sunuma bakınız), bir bilgisayarın Pisagor gibi "basit" bir teoremi bile kanıtlayabileceğini hiç okumadım veya duymadım.

1949'da Tarski, The Elements'taki hemen hemen her şeyin , gerçek kapalı alanların birinci dereceden teorisinin karar verilebilirliğini gösterdiğinde, mantıklı bir mantık parçası içinde olduğunu kanıtladı . Bu nedenle, özellikle Pisagor teoremi çok fazla konuşulmuyor çünkü özellikle zor değil.

Genel olarak, teoremi ispatlayan şey tümevarımdır. İndüksiyon olmadan birinci dereceden mantık , subformula özelliği olarak adlandırılan çok kullanışlı bir özelliğe sahiptir: gerçek formül sadece A'nın alt terimlerini içeren kanıtları vardır . Bu, kanıtladıkları teoremin bir analizine dayanarak bir sonraki aşamada neyin kanıtlanacağına karar verebilecek teorem kanıtlayıcıları inşa etmenin mümkün olduğu anlamına gelir. (Nicelleştirici örneklemesi, doğru subformula kavramını biraz daha ince yapabilir, ancak bununla başa çıkmak için makul tekniklerimiz vardır.)$A$$A$

Bununla birlikte, indüksiyon şemasının aksiyomlara eklenmesi bu özelliği bozar. Gerçek formül tek kanıtı, sözdizimsel olarak A'nın bir alt formu olmayan bir kanıt B yapılmasını gerektirebilir . Bunu kâğıt kanıtıyla karşılaştığımızda, “tümevarım hipotezini güçlendirmemiz” gerektiğini söylüyoruz. Bu, bir bilgisayarın yapması için oldukça zordur, çünkü uygun güçlendirme hem önemli etki alanına özgü bilgiler hem de belirli bir teoremi neden kanıtladığınızı anlamayı gerektirebilir . Bu bilgi olmadan, alakasız olan bir ormanda gerçekten alakalı genellemeler kaybolabilir.$A$$B$$A$

İki ana zorluk. Eksiklik (bkz. Gödel'in Eksiklik Teoremleri) ve arama alanının geniş boyutu (ilginç olanlardan çok daha ilginç olmayan teoremler vardır). İspat asistanları ( Coq , Isabelle, Agda, vb.) Kullanılarak önemli ilerleme sağlanmıştır . Bunlarla matematikçi teoremleri ve lemmaları yazar ve ispat asistanı ispat bulmaya yardımcı olur ve ispatların mantıksal olarak geçerli olmasını sağlar.

$P$$Q$$P\wedge Q$

Bu makalede , prova yardımcısı Coq'un dört renk teoremini kanıtlamak için nasıl kullanıldığı açıklanmaktadır. Mekanize matematik ( genel bakış ), TCS'nin teoremleri otomatik olarak kanıtlayan (yarı) ve genel olarak matematikçilere yardım etmek için bilgisayarları kullanan (yarı) bir alandır.

Otomatik teoremi kanıtlayan bir alan (çeşit) etki yaratıyor, model kontrolü ve model bulma. Model kontrolü, belirli bir sistemin belirli bir özelliği karşılayıp karşılamadığını belirlerken, model bulma ise belirli bir özellik koleksiyonunu karşılayacak bir sistem bulur. Alloy aracı, model kontrolü ve model bulmayı iyi bir etkiye sahiptir ve oldukça kullanılabilir.