Düzenli grafiklerde iletkenlik ve çap

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

Daha somut olarak, çapın en azından (veya en fazla) olduğunu biliyorum . Bu bana iletkenlik hakkında ne söylüyor? Ve tersine, iletkenliğin en fazla (veya en azından) olduğunu bildiğimi varsayalım . Bu bana çap hakkında ne söylüyor? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— robinson
kaynak

İstediğiniz özellik , olarak tanımlanan grafik iletkenliği yerine grafik genişletme gibi görünüyor . , gibi tanımlanmıştır . Hangisi istediğiniz özelliktir ??

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chi Chang - grafik düzenli olduğundan, iletkenlik ve genişlemenin derecesinin çarpım faktörü ile aynı olması gerektiğine inanıyorum .

d

$d$

— robinson

Ah, grafiğin düzenli olduğunu fark etmedim. Açıklama için teşekkürler.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 之 graph: Grafik genişlemesi ve grafik iletkenliğinin aynı kavram olduğunu düşündüm. Yorumunuzdaki tanım hakkında referanslarınız var mı?

— Tim

Hsieh'in belirttiği gibi, iletkenlik tanımınız faktörü ile bildiğimden kapalıdır , burada normal grafiğin derecesi. Bu, normal grafikler için kenar genişletme olarak da bilinir. $d$ $d$

Kenar genişlemesi ve çapı arasındaki ilişkiyi göstermek oldukça kolaydır. Sezgisel olarak, bir genişletici tam bir grafiğe "benzer" olur, böylece tüm köşeler birbirine "yakın" olur. Daha resmi olarak,

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

ile herhangi bir köşe kümesi alın . En azkenarları üzerinden gelen ve yana olduğu -Normal, mahalle (dahil kendisi) en az bir boyutu. Başlayarak, indüktif bu iddiayı uygulanması herhangi bir tepe , bazıları için görüyoruz , 'in -Hop mahalle boyutuna sahip en azından . Bu nedenle, herhangi bir tepe noktasının -hop mahallesi $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ kesişir zorundadır arasında -Hop mahalle veya grafik birden olurduköşeler, bir çelişki. Yani sende var $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

Kuşkusuz, aynı zamanda, çap üzerinde bir alt bağa sahip olmanın, kenar genişlemesi üzerinde bir üst bağ oluşturduğu anlamına gelmektedir.

Küçük çapın iletkenlik anlamına geldiğini düşünmüyorum. Normal grafiklerde ısrar etmezseniz (ve Hsieh tanımını kullanırsanız), tek bir kenarla birbirine bağlanan iki tam grafik bir karşı örnek sağlar.

— Sasho Nikolov
kaynak

Ben bir cevap göndermek üzereyim ve şimdi zorunda değilim, bunun yerine seninkini oylayabilirim;) İyi cevap için teşekkürler!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Umarım sen ve ben araştırmadan geçirdiğimiz toplam süre en aza indirildi :)

— Sasho Nikolov

@robinson: Bu basit gerçek ve hızlı karıştırma, düzenli grafik genişletici ailelerin birçok (en çok?) uygulamasının temelini oluşturur. küçük çap özelliği, örneğin, günlük alanındaki st bağlantıyı çözmek için uygulamanın temelidir

— Sasho Nikolov

orijinal cevabımın bir hatası vardı: yazdığım argüman köşe genişletme içindi, ama burada kenar genişletme ile çalışıyoruz. hatayı düzelttim ve şimdi sınır biraz daha kötü

— Sasho Nikolov