Bir grafik sınıfını tanıma zorluğu ile yasak alt karakter karakterizasyonu arasındaki ilişki

Yasaklanan altyazılarla nitelendirilebilecek grafik dersleri düşünüyorum.

Bir grafik sınıfının sınırlı bir yasaklanmış alt küme kümesi varsa, önemsiz bir polinom zaman tanıma algoritması vardır (biri kaba kuvvet kullanabilir). Ancak sonsuz yasaklı alt yazı ailesi, sertlik anlamına gelmez: tanınma aynı zamanda polinom zamanında test edilebilecek, sınırsız alt yazı listesi içeren bazı sınıflar vardır. Akor ve Mükemmel grafikler örneklerdir, ancak bu durumlarda, yasak ailede "hoş" bir yapı vardır.

Bir sınıfın tanınmasının zorluğu ile yasak ailenin "kötü davranışı" arasında herhangi bir bilgi ilişkisi var mı? Böyle bir ilişki var mı? Bu "kötü davranış" bir yerlerde resmileşti mi?

NP zor tanımaya sahip bir sınıfı grafik için yasaklanmış (indüklenmiş) alt listeler listesinin bazı "içsel" karmaşıklığa sahip olması gerektiği sezgisel gözükse de, son zamanlarda literatürdeki bu sezgiye ilişkin bazı çarpıcı olumsuz kanıtlar buldum.$\mathscr{C}$

Belki de tarif etmesi en basit olanı B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray ve N. Trotignon tarafından yazılan bir makaleden alınmıştır .

Let , iki aynı tepe bitişik: dört, en az uzunlukta bir döngü oluşan grafikler, artı üç köşe ailesi olarak U döngüsünün ve tepe komşu bir v döngüsünün, u ve v vardır döngüde ardışık değil (ve başka kenarlar yok).$F$$u$$v$$u$$v$

Şimdi let Eklemek olduğunu hariç, tamamen aynı şekilde oluşur grafikler aile olmak dört aynı köşeye bitişik iki: köşe u döngüsünün (önceki gibi), ama şimdi iki aynı köşe bitişik v arasında tekrar döngüsü, u ve v ardışık değil.$F'$$u$$v$$u$$v$

Öyleyse, yasaklanmış alt yazılarda olan grafiklerin sınıfında polinom-zaman tanıma varken , yasaklanmış alt yazılarda F ′ olan sınıfın tanınması NP zordur.$F$$F'$

Bu nedenle, yasaklanmış bir alt yazı listesinin, böyle bir koşulun “çok benzer” i ayırması gerekeceğini göz önünde bulundurarak (NP-) zor kabul gören bir sınıfla sonuçlandığı zaman yerine getirmesi gereken herhangi bir genel koşulun anlaşılmasını zor buluyorum. ve F ′ yukarıda.$F$$F'$

@Hugo tarafından verilen cevap gerçekten çok güzel ve burada bazı kişisel görüşler eklemek istiyorum.

F ve F 'ailesindeki grafiklere benzer ilgili aileler var. Makaledeki B1 ailesindeki grafiklere genellikle piramitler denir. B2 ailesindeki grafikler genellikle prizmalar olarak adlandırılır. Bir örnek için buradaki cevaba bakınız . Uyarılmış alt tabaka saptama problemlerinin literatüründe, çift / tek uzunluğa sahip akorsuz döngüleri olan çift / tek deliklerin tespitinde kullanılmıştır. Ünlü güçlü mükemmel grafik teoremine göre, hem G hem de G'nin tamamlayıcıları tek delikler içermiyorsa, bir grafik G mükemmeldir.

Piramitlerin ve prizmaların aileleri için aslında aralarında farklar var - biri üç yapraklı bir indüklenmiş alt ağacına sahip, diğeri ise yok. Buna Chudnovsky ve Seymour tarafından incelenen "ağaçta üç" sorun deniyor. Üç tane düğüm içeren bir indüklenen ağacın olup olmadığının saptanmasının izlenebilir olması şaşırtıcıdır, "ortalanmış bir ağaçta dördüncü" problemi NP zordur . (Merkezlenmiş bir ağaç, derecesi 2'den büyük olan en fazla bir düğüme sahip olan bir ağaçtır.) F ve F 'arasındaki farklar aynı sebepten kaynaklanıyor gibi görünüyor.

Fakat tam bir karakterizasyonun hala zor olduğu görülüyor, çünkü garip deliksiz grafikler (!) Gibi yeterince basit görünen bazı ailelerde grafik tespit etmenin karmaşıklığını bile bilmiyoruz. Ve bildiğimiz aileler için mükemmel grafikler ve düzensiz grafikler gibi bir polinom-zaman algoritması vardır, algoritma tasarlamak için genel stratejiler (ayrışmalara dayanan) olmasına rağmen, bunun için belirli bir yapısal teorem sağlamak zorundadır. onlar. Bu genellikle aileye bağımlı bir süreçtir ve ispatların çoğu zaman gerçekten uzundur. ( Burada , kağıdın 90 sayfanın üzerinde olduğu, deliksiz grafik için bir örnek .)

Yine de, ağaçta üçlü problemi gibi, indüklenmiş subgraf saptama problemleri için bazı sınıflandırmalara sahip olmak ilginç olacaktır.