Küçükleri gösteren alıntılar subkübik grafikler için topolojik küçüklerdir.

Eğer maksimum derecede 3 olan bir grafiktir ve küçük bir olan , H , o G bir topolojik küçük olan H .$G$$H$$G$$H$

Wikipedia, bu sonucu Diestel'in "Grafik Teorisi" nden alıntı yapıyor. Kitabın son sürümünde Prop 1.7.4 olarak listelenmiştir. Kitapta kanıt veya alıntı yok.

Bunun nerede (orijinal) bir kanıtı olduğu biliniyor mu?

Ayrıca, eğer bir pençenin yolu veya alt bölümüyse ve H'nin küçükse o zaman G'nin H'nin bir alt çizgisi olduğunu kanıtlayan bir referans var mı? Burada kısaca bahsediliyor ama referans yok.$G$$H$$G$$H$

Eğer maksimum derecede 3 olan bir grafiktir ve küçük bir olan , H , o G bir topolojik küçük olan H .$G$$H$$G$$H$

Yana küçük bir olan , H , G, elde edilebilir , H kenarları, izole edilmiş köşe silme ve kenar kasılmaları gerçekleştirerek. Alt bölüm işlemlerinin ilk önce yapılması konusunda ısrar edebildiğimizi göstermek de kolaydır, yani önce tüm kenar ve tepe silmelerini gerçekleştirebilir ve sonra tüm kenar kasılmalarını gerçekleştirebiliriz. Ayrıca, "kenar daralması" tanımını, köşelerden birinin derece 1'e sahip olduğu daralma kenarlarına izin vermeyecek şekilde sınırlayalım. Böyle bir kenarın daraltılması, kenarın silinmesi ile aynıdır;$G$$H$$G$$H$

Let den elde edilen grafik olarak H şeyden önce kenar / tepe silme gerçekleştirerek. H ′ hala önemsiz olarak G içerir . O göstermesi durumunda , H ' içeren G topolojik minör tanımı aynı zamanda kenar / tepe silmeleri sağlar, çünkü o zaman bitti bir topolojik minör olarak.$H'$$H$$H'$$G$$H'$$G$

Yana elde edilebilir , H ' kenar daralma sadece, H ' bir kenar daralma gerçekleştirerek bir grafik maksimum derecede azaltmak için bir yolu yoktur, çünkü, tüm ara grafikler maksimum derecede 3 olmalıdır. (Bu, derece 1 tepe noktasında meydana gelen kenarların büzülmesine izin verseydik mümkün olurdu.)$G$$H'$$H'$

Bu yüzden nin G'ye dönüşümünde herhangi bir adımı düşünün . Sözleşebileceğimiz tek kenar türü hem derece-2 köşesi hem de bir derece-2 tepe noktası ve bir derece-3 tepe noktası olan kenarlardır. (Diğer tüm kombinasyonlar çalışmaz. Örneğin, iki derece-3 köşesi olan kenarlar, büzülünce derece 4'e kadar çıkacaktır.)$H'$$G$

Ve şimdi ise, yapılması konum elde edilir , H 2 iki derece-2 köşeleri ile bir kenar daraltılmasıyla, o zaman , H 2 elde edilebilir , H 1 , o kenar kenar alt bölümü gerçekleştirerek. Benzer şekilde bir derece-3 tepe noktası ve bir derece-2 tepe noktası olan bir kenar için. Bu nedenle , H ' den elde edilebilir G anlamına gelir, sadece kenar alt bölümleri gerçekleştirerek G topolojik küçük olan H ' ve böylece H .$H_1$$H_2$$H_2$$H_1$$H'$$G$$G$$H'$$H$

Eğer bir yol ya da pençe bir alt bölümüdür ve küçük bir olan H sonra G bir alt grafiğinin olan $G$$H$$G$$H$

Önceki sonuca ulaştığımızda bunu göstermek kolaydır. Yolları ve pençeleri alt bölümleri maksimum derecede 3 olduğu için, eğer, çok küçük bir olan , H , aynı zamanda bir topolojik küçük olan H . Bu , G'nin sadece kenar alt bölümleri gerçekleştirilerek elde edilebildiği bir H altgrafının olduğu anlamına gelir . Şimdi, bir yolun her kenar alt bölümünün veya bir pençenin alt bölümünün, orijinali bir alt çizgi olarak içeren bir grafiğe yol açtığını indüksiyonla göstermek kolaydır. Örneğin, k uzunluğundaki bir yolun alt bölümlere ayrılması, bir alt grafik olarak k uzunluğunun yolunu içeren k + 1 uzunluğundaki bir yola yol açar. Benzer şekilde bir pençenin alt bölümleri için.$G$$H$$H$$H$$G$

Bu sonuca bir kez bir kağıt için de ihtiyacımız vardı, bu yüzden makalemize kısa bir kanıt ekledik. Sonucu, küçük kapalı grafik özelliklerinin Kuantum sorgu karmaşıklığında bulabilirsiniz . 13. sayfada bahsedilmiştir. Ancak, bu gerçek başka bir şeyin kanıtında gizlidir ve açıkça bir teorem olarak ifade edilmez.

Ayrıca ilginç olan, bu teoremle bir sohbet olması:

Sadece grafikleri içeren olan G küçük içeren eşdeğer olarak G , bir alt grafiği olarak bağlı her parça bir yol ya da pençe bir alt bölümüdür ettiği bileşiklerdir.$G$$G$$G$