Hangi hiyerarşileri ve / veya hiyerarşi teoremlerini biliyorsunuz?

42

Halen TCS’de hiyerarşi teoremleri hakkında bir anket yazıyorum. İlgili makalelerin araştırılması Hiyerarşinin sadece TCS ve matematikte değil, teoloji ve sosyolojiden biyoloji ve kimyaya kadar birçok bilim dalında temel bir kavram olduğunu fark ettim. Bilgi miktarının çok büyük olduğunu görünce, umarım bu topluluktan yardım isteyebilirim. Tabii ki, benim için bibliyografik bir arama yapmanı istemiyorum, ama bunun yerine iki tür bilgi istiyorum:

Çalışmanızın sonucu olarak ortaya çıkan hiyerarşiler ve hiyerarşi teoremleri veya meslektaşlarınızın veya aşina olduğunuz diğer kişilerin çalışmalarının sonucu olduğunu ve bunun iyi bilinmediğini düşünüyorsunuz. Bu, örneğin ilgilendiğiniz belirsiz bir hesaplama modeli için bir hiyerarşi teoremi veya örneğin oyun teorisi ile ilgili olan belirli sınıfların hiyerarşisi olabilir.
Hiyerarşiler ve hiyerarşi teorileri, bu tür bir araştırmaya dahil edilmeniz için kesinlikle gerekli olduğunu düşünüyor. Bu muhtemelen benim için zaten bilinecekti, ancak hangi hiyerarşileri daha önemli olarak düşündüğünüzü ve neden olduğunu görmek faydalı olacaktır. Bu, " çok önemli buluyorum çünkü bu tür bir araştırmayı yapamayacağız" veya "Çok iyi bilinmese de, mantık tabanlı TCS'de sürekli olarak bu hiyerarşiyi kullanıyoruz. bu önemli bir araçtır. " . Ve evet, mantığa sahip insanların söyleyecek çok fazla hiyerarşiye sahip olduğuna inanıyorum, ancak sorunların hiyerarşileri hakkında konuştuğumuzu aklımızda tutuyoruz. $PH$

Burada güncel bir liste tutacağım:

$DTIME$ Hiyerarşisi
$NTIME$ Hiyerarşisi
$SPACE$ Hiyerarşisi
Aritmetik (Kleene olarak da bilinir) Hiyerarşi
Hiperalitmetik Hiyerarşi
Analitik Hiyerarşi
Chomsky Hiyerarşisi
Grzegorczyk hiyerarşisi ve ilgili: Wainer hiyerarşisi (hızlı büyüyor), Hardy hiyerarşisi
(yavaş büyüyor) ve Veblen hiyerarşisi
Ritchie'nin hiyerarşisi
Axt hiyerarşisi ( Axt63'te tanımlandığı gibi )
Döngü Hiyerarşisi ( MR67'de tanımlanmıştır )
$NC$ ( , ) Hiyerarşisi $AC$ $ACC$
Sipser83'te tanımlandığı gibi derinlik hiyerarşisi
Polinom Hiyerarşisi ( ) ve daha az rafine Meyer-Stockmeyer hiyerarşisi (nicelleştiriciler arasında herhangi bir sıkıntı yok) $PH$
Üstel Hiyerarşi ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ Ara hiyerarşi (Ladner teoremi)
Çok sağlam olmayan (Arthur-Merlin) $AM$
(Rasgele olmayan Sabit parametre) hiyerarşisi ve ilgili Dalgalı W hiyerarşi ( -hierarchy) ve -hierarchy (W parametre Bağımlı Derinlik) $W$ $AW$ $W^{*}$
Hiyerarşi Sayma
Fourier Hiyerarşisi
Boole Hiyerarşisi ( üzerinden ), ayrıca Sorgu Hiyerarşisine de ( üzerinden ) $NP$ $NP$
GoldreichKNR09'da görüldüğü gibi mülk testi için hiyerarşiler
Yıldızsız normal dillerin nokta derinliği hiyerarşisi
$BP_{d}(P)$ : sınıfları girişin her biti en d zamanlarda test edilmesi ek koşulu ile, farklı değerlerin bir hiyerarşisi oluşturur, polinom boyutu dallanma programlar tarafından çözülebilir $d$
Devre Karmaşıklığı için zaman sıradüzeni
İletişim karmaşıklığındaki polinom hiyerarşisi

Not: Yalnızca belirtilmek istemiyorsanız, lütfen söyleyin. Genel bir kural olarak, hem topluluktan hem de yeni bilgileri ortaya çıkaran özel kişiden bahsedeceğim.

— chazisop
kaynak

2

Bu bir Topluluk Wiki sorusuna çok benziyor. Dönüştüreyim mi?

— Dave Clarke

Ladner teoremi, P ve P ^ # P gibi diğer sınıflar arasında (farklı oldukları varsayılarak) sonsuz hiyerarşiler elde etmek için genelleştirilebilir .

— Tyson Williams,

13

Aynı zamanda "Hiyerarşi karşıtı" teoremlerden, yani, ikilik teoremlerinden de bahsedebilirsiniz. İkili teoremler muhtemelen kendi başlarına bütün bir anket alabilir, ancak muhtemelen en azından Ladner Teoremi gibi bir şeyden söz etmeleri gerekir.

— Joshua Grochow

1

Sadece sorun sınıfları hiyerarşileri hakkında mı soruyorsun? Aynı zamanda "testler hiyerarşisi" kavramı da vardır, örneğin arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 adresini ziyaret edin .

— Alessandro Cosentino

1

Evet, sadece karmaşıklık sınıfı hiyerarşileri göz önünde bulundurulur.

— Bunlarla

21

" Yaoyun Shi, Kuantum ve klasik haydutlarda " tanımlanan Fourier Hiyerarşisi .

Gönderen karmaşıklığı hayvanat bahçesi :

$\mathsf{FH}_k$ , seviyelerinde Hadamard kapıları ve hesaplama tabanını koruyan diğer tüm kapılarla birlikte, tek tip bir polinom büyüklüğünde kuantum devre ailesi tarafından çözülebilen sorunların sınıfıdır . $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ , Kitaev'in faz tahmin algoritması nedeniyle faktoring içeriyor .

Fourier hiyerarşisinin bir kehanete göre sonsuz olduğunu göstermek açık bir sorundur (yani, kesinlikle ). $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Robin Kothari
kaynak

18

- "Hiyerarşi karşıtı" çizgileri boyunca, Borodin'in boşluk teoremi söylemeye değer olabilir.

Teorem. Her hesaplanabilir her işlev için , , toplam hesaplanabilir öyle ki . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

Bu, zamana göre yapılandırılabilir olması dışında zaman hiyerarşisi teoremiyle çelişir (aslında bu yüzden çoğu karmaşıklık hiyerarşisinin ifadelerinde yapıcılık varsayımlarına sahip olmamız gerekir). $g$

- Her zamanki gibi hiyerarşilerin ilginç güçlendirilmesi de vardır, örneğin:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

( zamanındaki problemler vardır, zaman makinesi tarafından tavsiye bitleri kullanılarak, sadece sonsuz sayıda giriş uzunluğu için bile hiçbir zaman başarılı bir şekilde çözülemez ). Kanıt kolaydır: ikinci giriş olarak öneri alan zaman makinelerini listeleyelim . Tanımla böler içine burada, çalıştırır ve karşıt cevabı . Sonra . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- Belirli durumlarda bilinen zaman sıradüzenlerinin eksikliği (açık problemler olarak) düşünülmelidir. Örneğin, mi? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Ryan Williams
kaynak

2

Öyle mi ? Aksi halde ifade ilginç değildir: sadece .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov

@Sasho, öyle görünüyor. Borodin'in boşluk teoreminin ifadesi (bağlantı yoluyla) da aynı şeyi söylüyor.

— Daniel Apon

16

Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi size bazı hiyerarşiler sunar . Bunlar arasında, Sayma Hiyerarşisi ve Boole Hiyerarşisi daha önce alıntılanmadı.

[EDIT] Cevabımı daha bilgilendirici hale getirmek için Sayma Hiyerarşisinin hızlı bir tanımı.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Sonra, polinom hiyerarşisine , olarak tanımlanır . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

Sayma hiyerarşisi Wagner [Wag86] tarafından tanımlandı. Eşik devreleri teorisi ile ilgili bağlantılar Allender ve Wagner tarafından bulunmuştur [AW93]. Çok daha yakın zamanlarda, Burgisser [Bür09] ayrıca Valiant'ı modeli ilişkilendirmek için sayma hiyerarşisi kullanılan -conjecture Shub ve Smale arasında. Özellikle, kanıtladı -conjecture kalıcı için alt sınır superpolynomial ifade eder. $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Wagner. Birleştirici problemlerin özlü girdi temsiliyle karmaşıklığı . Açta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender ve KW Wagner. Hiyerarşileri sayma: polinom zamanı ve sabit derinlik devreleri . Bilgisayar Biliminde Güncel Eğilimler , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Tamsayıların tanımlanması ve aritmetik devre kanıtlanması alt sınır . Hesaplamalı Karmaşıklık 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
kaynak

16

Goldreich ve diğ. ark. Özellik testi için hiyerarşi teoremleri var:

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg: Mülkiyet Testi Hiyerarşi Teoremleri. Özellik Testi , Bilgisayar Biliminde Ders Notları, Cilt. 6390, sayfa 289-294, Springer, 2010.

Ayrıca ECCC'de .

— Yonatan
kaynak

burada çoğu özelliğin kuantum modelinde sorguları gerektirdiği gösterilmiştir . Bu, kuantum özellik testi için de geçerli olduğunu göstermek üzere, cevabın hiyerarşi teoreminin ispatıyla bağlanabilir. (Aslında , test etmek için sorgusu gerektiren en az bir özelliğe sahip herhangi bir doğal hesaplama modeli ve test edilebilir herhangi bir içinde test edilebilir özelliklere sahipseniz sorguları).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

15

Sipser içinde bir derinlik hiyerarşisi gösterdi , yani poli boyutunda derinlik devreleri poli boyutunda derinlik devrelerinden daha güçlü : $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, M. Borel kümeleri ve devre karmaşıklığı . STOC 1983.

— Joshua Grochow
kaynak

11

Dieter van Melkebeek ve ortak yazarlar, randomizasyon da dahil olmak üzere, semantik modeller için zaman ve mekan hiyerarşisine sahiptir.

Dieter van Melkebeek, Konstantin Pervyshev: Bir Tavsiye Öğesiyle Genel Bir Zaman Hiyerarşisi . Hesaplamalı Karmaşıklık 16 (2): 139-179 (2007)
Jeff Kinne, Dieter van Melkebeek: Randomize ve Diğer Anlamsal Modellerin Uzay Hiyerarşisi Sonuçları . Hesaplamalı Karmaşıklık 19 (3): 423-475 (2010)

— Tyson Williams
kaynak

10

Anlamsal sınıflar için tavsiyeyle daha fazla hiyerarşi. Özellikle, ZPTIME ve RTIME için.

Lance Fortnow, Rahul Santhanam, Luca Trevisan. Anlamsal Clases için Hiyerarşiler . STOC'05’te.

— Marcos Villagra
kaynak

10

Gerçek sayılar için Zheng-Weihrauch hiyerarşisi var.

X. Zheng ve K. Weihrauch. Gerçek sayıların aritmetik hiyerarşisi . Üç Aylık Matematiksel Mantık. Vol. 47 (2001), No. 51-65.

— Birisi
kaynak

9

1975 tarihli bir makalede L. Adelman ve K. Manders tarafından tanımlanmış bir sınıf , sınıfının bir diophantine analoğudur . dili de bulunur, da varsa bir polinom eşit olup olmadığı açık bir problemdir. Bu eşitlik, sayı teorisi ile bilgisayar bilimi arasındaki bağlantıları gösterir. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

"Diophantine hiyerarşi" olarak adlandırılan polinom hiyerarşisinin bir diophantine analoğu vardır. Polinom ve diofanta hiyerarşileri iç içe geçmiştir:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
kaynak

Doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 veya doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 mı demek istiyorsunuz ?

— András Salamon

D

$D$ ikincisinde tanımlanır ("Diophantine Complexity").

— GMB

@ AndrásSalamon Bağlantılar çalışmıyor gibi görünüyor.

8

Başka bir katı hiyerarşi: Her biti sınırlı sayıda test eden dallanma programları. Ne kadar çok teste izin verilirse, dallanma programlarının sınıfı o kadar büyük olur. Genellikle dallanma programları aynı zamanda polinom büyüklüğü ile sınırlıdır. BP _d (P), her biti kata kadar test edebilen polinom büyüklüğü dallanma programlarının sınıfıdır . $d$

L / poli -grubunun birleşimi olan BP _d (P), tüm d sırasında KB, _d-1 (p) BP _d (P), her d . $\subsetneq$

— András Salamon
kaynak

8

Gelen parametreli karmaşıklık teorisi yalnızca önceden belirtildiği halde birkaç hiyerarşi bulunmaz -hierarchy göründüğünü sıklıkla yayınlarda. Diğerleri: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -hiyerarşi
$\mathsf{AW}$ -hiyerarşi
$\mathsf{EW}$ -hiyerarşi
$\mathsf{LOG}$ -hiyerarşi
$\mathsf{M}$ -hiyerarşi
$\mathsf{S}$ -hiyerarşi
$\mathsf{W^∗}$ -hiyerarşi
$\mathsf{W^{func}}$ -hiyerarşi

Hepsi Parametreli karmaşıklık teorisi, Flum ve Grohe, Birkhäuser, 2006'da açıklanmaktadır .

— Martin Lackner
kaynak

7

Bunun sizin kriterlerinize uygun olup olmadığından emin değilim, ancak yıldızsız normal dillerin nokta derinliği hiyerarşisi var .

— mhum
kaynak

6

Devre boyutu için hiyerarşi, önceki soruya bakın .

— Emanuele Viola
kaynak

5

Sonsuz ağaçların normal dilleri teorisi, halen açık olan birçok soru ile şu anda üzerinde çalışılan birkaç hiyerarşiye neden oldu.

Sonsuz ağaçlarda otomata kullanıldığında, parite koşulu (veya Mostowski koşulu) özel ilgi konusudur; .

Her parite otomat sahip rank burada ve , kabul durumun yapısını açıklayan. Bu nedenle, eğer bir dili sıralı (det / ND / alt) otomatiği ile tanınabilir ise , nin (sırasıyla) seviyesine ait olduğunu söyleriz : $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

deterministik Mostowski hiyerarşisi (tüm normal diller değil)
özgün olmayan Mostowski hiyerarşisi
dönüşümlü Mostowski hiyerarşisi

Alternatif hiyerarşinin seviyesi (yani hem Büchi hem de ko-Büchi tanımlanabilir) zayıf seviyeye tekabül eder ve kendilerini hiyerarşiye yol açan zayıf alternatif otomatlarla karakterize edilir: $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

zayıf dizin hiyerarşisi (tüm normal diller değil)

Tüm bu hiyerarşiler için (deterministik olanlar hariç), belirli bir dil için üyeliğin karar verilebilirliği açık bir sorundur. Bu hiyerarşiler ve topolojik sınıflandırmalar arasındaki bağlantılar (Wadge hiyerarşisi ve Borel hiyerarşisi olarak da bilinir) ayrıca birkaç açık sorun ortaya çıkardı. Örneğin, zayıf endeks hiyerarşisi ve Borel hiyerarşisinin çakıştığı varsayılmaktadır. Tüm bu hiyerarşilerin katı olduğu bilinmektedir ve seviyeye karar vermek için bazı özel durumlar (özellikle düşük seviyeler veya girdi deterministik otomasyonu ile) yakın zamanda çözülmüştür. $L$

— dkuper
kaynak

4

Devre karmaşıklığındakilere benzer önermeli kanıt karmaşıklığında hiyerarşiler vardır. Örneğin, önermeli çatı sistemleri , C- için -Frege korumalı sistemler , devre karmaşıklık sınıfları ve benzerlerine benzerdir . $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

Sınırlı aritmetikte de hiyerarşiler var, örn. teorileri vb. $\mathsf{S^i_j}$

— Kaveh
kaynak

4

İşte olan bağlamdan-bağımsız diller için yeni hiyerarşi Tomoyuki Yamakami tarafından.

Belirleyici olmayan aşağı itme otomatlarında ve Turing nosyonlarında ve bir-çok indirgenebilirlikte bir kehanet mekanizması ortaya koydu. Daha sonra polinom hiyerarşisine benzer bir bağlamsız dil (CFL) için yeni bir hiyerarşi kurulur. Örneğin, , , vb. Tüm bunların ilginç yanı, yalnızca polinom hiyerarşisi çöktüğü zaman ve CFL hiyerarşisinde bir çöküşün meydana gelmesidir. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— Marcos Villagra
kaynak

3

OP (GoldreichKNR09) tarafından belirtilen mermi noktalarından bir tanesinde: sorgulama karmaşıklığı, uyarlanabilirlik ya da test sayılarıyla ilgili olarak testin karmaşıklığı, uyarlanabilirlik ya da test edilebilirlik ile ilgili yakınlık kanıtları gibi çeşitli hiyerarşi teoremleri vardır. yakınlık). Örneğin, bakınız

Mülkiyet Testi Hiyerarşi Teoremleri , Oded Goldreich, Michael KrivelevichIlan Newman ve Eyal Rozenberg, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [OP tarafından belirtilen]
Etkileşimli Yakınlık Kanıtları için Bir Hiyerarşi Teoremi , Tom Gur ve Ron Rothblum, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Boyut- Kayıtsız Sorgu Karmaşıklığında Test Özelliklerinin Hiyerarşi Teoremleri , Oded Goldreich, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Mülkiyet testi için bir uyarlanabilirlik hiyerarşi teoremi , Clément Canonne ve Tom Gur, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Clement C.
kaynak

İşaretçi bu cevap ilki (GoldreichKNR09) odaklanır.

— Clement C.

3

Gönderen cs.stackexchange bu soruya , ben farkına düzenli dillerin cins hiyerarşisi . Temel olarak, normal dilleri, DFA grafiğinin gömülebileceği minimum cins yüzeyine göre karakterize edebilirsiniz. [1] 'de keyfi olarak büyük cinslerin dilleri olduğu ve bu hiyerarşinin uygun olduğu gösterilmiştir.

Bonfante, Guillaume ve Florian Deloup. " Normal diller cinsi. " Bilgisayar Biliminde Matematiksel Yapılar 28.1 (2018): 14-44.

— mhum
kaynak

2

Polinom Hiyerarşisini Sayma, kısaca #PH. İlk seviye #P sonra #NP ... vb.

— Tayfun Ödeme
kaynak

1

$^{cc}$

— Denis Pankratov
kaynak

Ekleme için teşekkürler, coNP'nin iletişim karmaşıklığına değindiğini açıkça belirtmek için yorumunuzu düzenledim (bunun gösterim karmaşıklığını önlemek için genellikle iletişim karmaşıklığı topluluğuna düştüğünü biliyorum).

— chazisop

1

$D_{p}$

$NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

Boolean bağlayıcılarının daha fazla araştırılmasıyla ilgili ve Grafik İzomorfizmi Düşük ve Yüksek Hiyerarşilerdir , ayrıca wikipedia referansıdır .

— kullanıcı3483902
kaynak

0

Karanlıkta daha fazlası: Sonlu model teorisinde sabit nokta mantığı için ikinci dereceden heirarşi teoremi. Bkz . Başka Bir Hiyerarşi Teoremi .

— Max Kubierschky
kaynak