Güçlü NP sertliği, düz çoklu zaman azaltmaları kullanılarak gerçekten gösterilebilir mi?

17

Son zamanlarda, bir sorunun güçlü bir NP-zor probleminden (polinom zamanında) azaltarak, NP-zor olduğunu göstermeyi amaçlayan bir kanıt okudum. Bu benim için bir anlam ifade etmiyordu. Düşürmede kullanılan herhangi bir sayının ve azalttığınız sorunun örneklerinin, sorun boyutunda polinom olarak sınırlanmış olduğunu göstermeniz gerektiğini düşünürdüm.

Daha sonra Wikipedia'nın bu tür kanıtlar için aynı genel talimatları verdiğini gördüm , ancak Garey & Johnson'un temelde aynı şeyi söylediğini görene kadar gerçekten ikna olmadım . Spesifik olmak gerekirse “Eğer derler, güçlü anlamda NP-zor ve bir sözde polinom dönüşümü vardır için , sonra güçlü anlamda NP-zor olduğunu” ve “Not ki tanımı gereği, bir polinom zaman algoritması da yalancı-polinom zaman algoritmasıdır. " $\Pi$ $\Pi$ $\Pi'$ $\Pi'$

Tabii ki, bu konuda Garey & Johnson kelimesini ele alıyorum - bunun nasıl doğru olabileceğini anlamıyorum, bu yüzden biraz yardım etmek istiyorum. İşte benim (muhtemelen kusurlu) akıl yürütmem ...

Güçlü NP-tam problemleri vardır ve bunların tümü (tanım gereği) NP-sert olduğu kadar NP-tamdır. Her NP-tamamlama problemi (tanım gereği) polinom (ve dolayısıyla psödopolinom) zaman içinde herhangi bir başkasına indirgenebilir. Garey & Johnson'ın ifadeleri göz önüne alındığında, bana göre, her NP-komple probleminin güçlü bir şekilde NP-tamamlanmış olduğu ve bu nedenle, her NP-zor probleminin güçlü bir şekilde NP-zor olduğu görülüyor. Bu, elbette, güçlü NP sertliği kavramını anlamsız hale getiriyor… Peki ne kaçırıyorum?

Düzenleme / güncelleme (Tsuyoshi Ito'nun cevabına dayanarak):

Garey & Johnson'un (sözde) polinom dönüşümünü tanımlamasından (d), güçlü anlamda NP sertliğini sağlamak için gereken azaltma türü) elde edilen gereklilik, sonuç olarak ortaya çıkan örnekteki en büyük sayısal büyüklüğün bir işlev olarak polinom olarak bağlı olmasıdır. orijinalin maksimum boyut ve problem büyüklüğü. Bu, tabii ki, eğer orijinal problem güçlü anlamda NP-zor ise (yani, sayısal büyüklükleri problem boyutunda polinom olarak bağlı olsa bile), bu da azalttığınız problem için de geçerli olacaktır. Bu olurdu değil mutlaka (bu ekstra gereksinimi olmadan biridir) sıradan polytime azaltılması için durum.

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— Magnus Lie Hetland
kaynak

Harika! Benim matematik TA dün bunu yaptı ve ben balık olsa. Şimdi ona bir link verebilirim.

— Raphael

14

Garey ve Johnson tarafından yazılan makaledeki terminolojiye göre, polinom-zaman dönüşümleri mutlaka sahte-polinom dönüşümleri değildir, çünkü Tanım 4'teki (d) maddesini ihlal edebilir.

— Tsuyoshi Ito
kaynak

1

Doğru — yani bir polinom algoritması mutlaka psödopolinomdur, ancak polinom indirgemesi mutlaka G&J'nin psödopolinom dönüşümü olarak adlandırdığı şey değildir. Aslında, onların öğesi (d) tam olarak eksik olduğunu düşündüğüm şeydir (yani, sayı boyutunda bazı kısıtlamalar). Teşekkürler.

— Magnus Lie Hetland

9

Tsuyoshi'nin cevabını genişletmek için:

Garey ve Johnson bağlamında, BÖLÜM (s. 47, Bölüm 3.1) 'den ÇOK İŞLEMCİ PROGRAMLAMAYA (s. 65, Bölüm 3.2.1, Madde (7)) bir dönüşüm düşünün.

Dönüşüm (kısıtlama ile) ayarını içerir. Görevleri uzunlukları Ancak, olduğukadar büyük, o zaman böyle olmayabilir bir, iki değişkenli var olduğu, öyle ki $D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$ $l(a)$ $q_2$ $\forall I \in D_{\Pi}$ $[f(I)] \le q_2$ $[I],$ $[I])$ (yani, sözde-polinom dönüşümünün tanımındaki madde (d)).

$l(a)$ $l(a)$ $|A|$

İlgili bir konuda Wikipedia'yı okumak isteyebilirsiniz . Örneğin, NP-tam KNAPSACK problemi için dinamik bir programlama-tabanlı polinom-zaman algoritmamız var - en azından, rakamlar yeterince küçük olduğu sürece. Sayılar çok büyük olduğunda, bu "polinom-zaman" algoritması "üstel davranış" gösterecektir. (G&J, sayfa 91, Bölüm 4.2)

— Daniel Apon
kaynak