Zaman ve sorgu karmaşıklığı arasında takas

18

Zaman karmaşıklığı veya devre alt sınırları ile doğrudan çalışmak korkutucu. Bu nedenle, alt sınırların üstesinden gelmek için sorgu karmaşıklığı (veya karar ağacı karmaşıklığı) gibi araçlar geliştiriyoruz. Her sorgu en az bir birim adım attığından ve sorgular arasındaki hesaplamalar serbest olarak sayıldığından, zaman karmaşıklığı en azından sorgu karmaşıklığı kadar yüksektir. Ancak, ayrılıklar hakkında bir şey söyleyebilir miyiz?

Klasik veya kuantum literatüründeki çalışmaları merak ediyorum, ancak daha tanıdık olduğumdan QC'den örnekler sağlıyorum.

Grover'ın araştırması ve Shor'un dönem bulması, zaman karmaşıklığı gibi bazı ünlü algoritmalar, sorgu karmaşıklığının poli-logaritmik faktörleri içindedir. Gizli Alt Grup Sorunu gibi diğerleri için polinom sorgu karmaşıklığına sahibiz , ancak polinom zaman algoritmaları bilinmemektedir.

Zaman ve sorgu karmaşıklığı arasında potansiyel olarak bir boşluk bulunduğundan, optimum zaman karmaşıklığı algoritmasının, optimum sorgu karmaşıklığı algoritması ile aynı sorgu karmaşıklığına sahip olması gerektiği açık değildir.

Zaman ve sorgu karmaşıklığı arasındaki ödünleşim örnekleri var mı?

Bilinen en iyi zaman karmaşıklığı algoritmasının bilinen en iyi sorgu karmaşıklığı algoritmasından farklı bir sorgu karmaşıklığı olduğu sorunlar var mı? Başka bir deyişle, sorgu arası işlemleri kolaylaştırmak için daha fazla sorgu yapabilir miyiz?

Veya her zaman asimptotik olarak en iyi zaman karmaşıklığı olan bir uygulamaya sahip asimptotik olarak en uygun sorgu algoritmasının bir sürümü olduğunu gösteren bir argüman var mı?

— Artem Kaznatcheev
kaynak

Doğal bir problem mi istiyorsunuz yoksa yapay bir problem de iyi mi?

— Robin Kothari

2

Doğal problemler tercih edilir, ancak yapay problemler cevap vermekten daha iyidir.

— Artem Kaznatcheev

9

Aşağıdaki özellik ile yapay bir işlev yaratma girişimi:

Sorun sorguları ile çözülebilir ancak zamanı gerektirir . $O(\log n)$ $\exp(n)$
Sorun zamanı ile çözülebilir ancak bu sorguları gerektirir $O(n)$ $O(n)$

Girdi boyutu . İlk bitleri (diyelim bu dize x diyelim) girdiyi EEXP için tamamlanmış bir soruna kodlayalım. Sonraki bit (bu dizeyi y olarak adlandıralım), yalnızca x EEXP-complete sorununun NO örneği ise tümünün sıfır olma özelliğine sahiptir. $n + \log n$ $\log n$ $n$

Yani ilk bit sert sorunu kodlamak ve bir sonraki bitleri size sorunun çözümü konusunda bir ipucu verir. Ancak, bit dizesine bakarak çözümü bulmak için sorguları yaparsınız . $\log n$ $n$ $n$ $\Omega(n)$

Bu sorun her iki okuma sadece ilk çözülebilir Yani bit ve exp (n) zaman harcayarak veya okuyarak bit ve yalnızca doğrusal zaman kullanarak. $\log n$ $n$

Aynı fonksiyon, kuantum sorgu karmaşıklığı için de geçerlidir .. gerektiğinde kare kök işaretleri ekleyin.

— Robin Kothari
kaynak

7

Robin örneğinin daha aşırı bir versiyonu:

Bir Turing makinesini kodlayan ilk biti (bu dizge ) giriş boyutu olsun . Bazı işlevlerini düzeltin . Turing makinesi den daha az adımda durursa , dizenin son bitinin olmasına izin verin . Sorun olmadığını belirlemek için daha sonra daha kısa santraline de adımları ve parite ve eşitlenir. $n$ $n-1$ $x$ $T_x$ $f(n)$ $1$ $T_x$ $f(n)$ $T_x$ $f(n)$ $x$

Böylece, sorguları yaparak problem zamanında çözülebilirken, sorguları yaparak problem zamanında çözülebilir . $n-1$ $O(f(n))$ $n$ $O(n)$

— Joe Fitzsimons
kaynak

Muhtemelen son bitin, x'in paritesi Turing makinesinin zaman içinde durması durumunda bile olacağı anlamına geliyordu (aksi takdirde soru sadece bir sorgu gerektirir;)). Bu güzel ve zaman ve sorgu arasında istediğimiz her türlü ayrımı sağlayacak şekilde değiştirilebilir. Herhangi bir

ve

fonksiyonunu düşünün , sonra

ilk

bitleri bir Torna makinesinin açıklaması olsun. Diğer olsun

ait

g (n) = ω (1)

$g(n) = \omega(1)$

g (n) < n

$g(n) < n$

g (n)

$g(n)$

x

$x$

n - g (n)

$n - g(n)$

x

$x$ bitler

paritesi

adımlarından daha az durursa bile öyle olur . Daha sonra bir olması

karşı

pahasına sorgu

karşılık

zamanında.

x

$x$

T_{x}

$T_x$

f (n) > n

$f(n) > n$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

n

$n$

— Artem Kaznatcheev

Önceki yorumumun ilk cümlesini dikkate almayın.

— Artem Kaznatcheev

7

Robin Kothari'nin cevabını ve Joe Fitzsimons'un modifikasyonunu seviyorum. Yanıtlarının bariz bir uzantısıyla, daha küçük ve daha büyük sorgu karmaşıklığı ile daha büyük ve daha küçük zaman karmaşıklığı arasında herhangi bir ayırma oranına (sabit-sabit olmayan hariç) ulaşabilirler. Bununla birlikte, işlevlerini kısmi yapmanın açık bir yolu yoktur. Ayrılık olduğumuz doğal bir soruna işaret etmek ve büyük işlevlerin toplam fonksiyonlar için daha zor olduğunu göstermek istiyorum.

Doğal bir problem

Ben Reichardt e-posta ile formül değerlendirme sorununa dikkat çekti. değişkenlerinde genel bir kez okunur AND-OR formülünü değerlendirmek için kuantum sorgu karmaşıklığı $n$ . Ancak, $\Theta(\sqrt{n})$ -sorgu algoritması zaman açısından verimli değildir. Burada, bilinen en hızlı algoritma $O(\sqrt{n})$ sorgular ve zaman içinde polilogaritmik olarak daha kötü çalışır. Dolayısıyla, bilinen bir ayrılığın olduğu doğal bir toplam problemimiz var. Bu ayrılığın var olması gerektiğine dair bir kanıt olmamasına rağmen. $O(\sqrt{n}\log{n})$

Toplam fonksiyonları ayırmak daha mı zor?

Bana göre, kanıtlanabilir ayrılıklarla toplam fonksiyonları bulmak daha zor gibi görünüyor. Toplam ve kısmi işlevler durumunun farklı olduğunu göstermek için, toplam işlev için sorgu-optimal ve zaman-optimal algoritmalarının sorgu karmaşıklıkları arasındaki en büyük ayrım hakkında bir argüman sunacağım.

Kullanılması Simon [1] bir işlev bağlıysa görebilirsiniz bağlı düşürmek onun değişkenleri, biz sorguda-az gerekecektir Bunlardan. Öte yandan, şimdiye kadar sorgu en çok . Tüm değişkenlerini sorgulamak için bir neden bulunmadığına dikkat edin , çünkü çıktı bunların bağımsızdır (bu ölü bitleri çağırın) ve toplam fonksiyon için bu ölü bitlere bakarak hiçbir gizli yapı ortaya çıkmaz. Böylece, toplam fonksiyon için en uygun zaman algoritması bile, sadece ölü bitlerin olduğu varsayılarak , çoğu sorgusunu kullanacak şekilde değiştirilebilir . $m$ $\Omega{(\log m)}$ $m$ $n$ $n - m$ $m$ $0$

$(\text{query complexity}\; , \; \text{time complexity})$ $(q_1(n),t_1(n))$ $(q_2(n),t_2(n))$ $q_2(n) \leq f(q_1(n))$ $f(n) = O(2^n)$

[1] HU Simon, "Paralel RAM'lerin dejenere olmayan Boole işlevlerini hesaplaması için zamana bağlı sıkı bir Z (loglogn)", içinde: Symp. Hesaplama Teorisinin Temelleri Üzerine, Bilgisayar Biliminde Ders Notları, Cilt. 158, Springer, Berlin, 1983, sayfa 439-444.

— Artem Kaznatcheev
kaynak