PCF'de işlevsel süreklilik modülünün tanımlanamazlığı için referans?

Birisi beni PCF'de işlevsel süreklilik modülünün tanımlanamaması için referans gösterebilir mi? \ newcommand {\ bool} {\ mathsf {bool}}$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bool}{\mathsf{bool}}$

Andrej Bauer, bazı sorunları daha ayrıntılı bir şekilde araştıran çok güzel bir blog yazısı yazdı , ancak bu soruya bir bağlam kazandırmak için yazısının sadece bir kısmını özetleyeceğim. Baire alanı $B$ , doğal sayı dizileri kümesidir veya doğal olarak doğallardan \ N \ ila \ N'ye kadar işlevler kümesidir $\N \to \N$. Bu soru için dikkatimizi yalnızca hesaplanabilir akışlarla sınırlayacağız.

Şimdi, bir işlev her için ise süreklidir , değeri unsurlarının yalnızca sınırlı sayıda bağlıdır ve biz aslında bir üst hesaplayabilir eğer computably sürekli var birçok unsurlar nasıl bağlı ihtiyaç vardır. Bazı hesaplama modellerinde , Baire uzayında ve Baire uzayının bir elemanında hesaplanabilir bir fonksiyon alan bir bir program yazmak mümkündür. ve akışın eleman sayısı üst sınırını geri verir. x s ∈ B f ( x s ) x s x s m o d u l u s : ( B → b o o l ) → B → $f : B \to \bool$$xs \in B$$f(xs)$$xs$$xs$$\mathsf{modulus} : (B \to \bool) \to B \to \N$

Bunu uygulamanın bir yolu, maksimum dizini görülen akışa kaydetmek için yerel depolamayı kullanmaktır:

let modulus f xs =
  let r = ref 0 in
  let ys = fun i -> (r := max i !r; xs i) in 
    f ys;
    !r

Tabii ki, ysargüman artık tamamen işlevsel bir program değil. Bu programda ilgim yalnızca yerel mağazanın kullanır ve bu nedenle olmasından gelmektedir extensionally saf. (Diğer şeylerin yanı sıra) üst düzey zorunlu programlama üzerinde çalışıyorum ve bunu saf bir işlev olarak sınıflandırabilecek tip teorileri tasarlıyorum.

Notlama ve bağlantı havuzu oluşturma gibi şeyleri içeren daha pratik örnekler de var, ancak bunu özellikle güzel bir örnek olarak görüyorum.

Kanıt Troelstra ve van Dalen'de bir yerde saklı, matematikte yapılandırmacılık, cilt 2, sanırım. Büyük olasılıkla, eğer ellerinizi üzerine koyabilirseniz, Troelstra'nın araştırmalarında bulunabilir.

Bu böyle devam ediyor. Fixpoint operatörleri ile tip hesabında süreklilik modülünü tanımlayabileceğimizi varsayalım . Daha sonra bunu bir etki alanı-kuramsal realizaiblity modelinde yorumlayabiliriz, örneğin burada , Scott'ın grafik modelidir. Bu modelde seçim ilkesi geçerlidir. Ancak (her bir gerçekleştirilebilirlik modelinde bulunan) fonksiyonların genişletilebilirliği ile birlikte, süreklilik modülünün varlığı ile uyumsuz olduğu bilinmektedir . Bir an alırsam ayrıntıları daha sonra dolduracağım.P E R ( P ω ) P ω A C 2 , 0 A C 2 , $\lambda$$\mathsf{PER}(\mathcal{P}\omega)$$\mathcal{P}\omega$$AC_{2,0}$$AC_{2,0}$

Ayrıca bk. M. Escardo, T. Streicher: Etki alanı gerçekleştirilebilirlikte , matematiksel Mantık Üç Aylık, cilt 48, sayı Ek 1, sayfa 41-44, 2002'de yayınlanan tüm fonksiyonlar sürekli değildir .