Politop (kenar) genleştiricilerin kenar-tepe grafikleri var mı?

Bu sorudan polinom Hirsch varsayımı (PHC) esinlenmiştir. Bir göz önüne alındığında -facet politop P içinde R, d onun kenar tepe grafik spektral aralık, (çağrı G ile sınırlı alt) Q ( 1 / p O l y ( n ) ) ? N köşelerindeki döngü grafiğinin, d = 2 için bile , spektral boşluğun O ( 1 / p o l y ( n ) ) kadar küçük olabileceğini unutmayın.$n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$; bu yüzden tahmin edilen sınır - eğer doğruysa - neredeyse sıkı olurdu.

Evet yanıtı, PHC anlamına gelir. Aslında, doğrusal programların, politop köşelerinde rastgele bir yürüyüşle verimli bir şekilde çözülebileceği anlamına gelir ve bu algoritma nesnel işleve çok fazla dikkat etmez! Bu gerçek olamayacak kadar iyi görünüyor.

Peki, bu sorunun durumu nedir: açık (PHC gibi) veya yanlış? Yanlışsa, basit karşı örnekler var mı?

Not : Genişleticileri tanımlamakla ilgili olağan komplikasyonların farkına vardım: düzenli veya iki taraflı olması gerekmez. Umarım bu teknik sorunların her ikisi de standart yollar kullanılarak aşılabilir ve özellikle sorumu önemsiz hale getirmezler. (Yanlışım varsa lütfen düzelt!)$G$

0/1-politoplar için (tüm tepe koordinatları 0 veya 1'dir), bunun doğru olduğu bilinmemektedir. Mihail ve Vazirani'nin bir 0/1-politop grafiğinin kenar genişlemesinin en az bir olduğuna dair bir varsayım var. Daha fazla bilgi Volker Kaibel tarafından hazırlanan bir makalede açıklanmaktadır .

İki şeyi not etmeliyim. (1) 0/1-politoplar için, Hirsch varsayımı doğrudur . (2) Bir politopun köşelerinde rastgele bir yürüyüş yaparken, olası dejenerasyona dikkat etmeliyiz. Bir tepe çok sayıda tabana karşılık gelebilir ve böylece üsler üzerinde rastgele bir yürüyüş yaparsak yürüyüş aynı tepe noktasında kalabilir. Köşelerde rastgele bir yürüyüş yapmak istiyorsak, rastgele bitişik bir tepe noktası veren bir prosedürümüz olması gerekir.

$n^{[d/2]}$

"Çift-komşu" politoplar için 1 / poli (n) ayrıldığını kanıtladım. (Bu benim polinom Hiresch varsayımına ilk atışımdı.) "Dışbükey politopların grafiklerinin çapı ve f-vektör teorisi" Uygulamalı geometri ve ayrık matematik, 387-411, DIMACS Ser. Ayrık Matematik Teorisi Bilgisayar Bilimi. Sci. , 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.