Kasılması grafikteki yay sayısını en aza indiren bir eşleşme bulma

Karışık bir grafiktir verilen kenarları ile D ve yayları A , bir eşleşen bulmak E bu en aza indirir arkların numara G / M , G / K elde edilir G eşleşen köşe yakalanma çıkararak paralel yaylar.$G=(V,E,A)$$E$$A$$E$$G/M$$G/M$$G$

Bu sorunun (karar versiyonu) NP tamamlanmış mı? Literatürde incelendi mi?

Amacınız E'deki yönlendirilmemiş kenarların ve A'daki yayların paralel olmasına izin vermek mi bilmiyorum, ama sonunda önemli değil. Bu cevapta kenarların ve yayların paralel olmasına izin vermediğinizi varsayıyoruz.

Her bir yay için bir özel durumu göz önünde A , bir karşı yönde yay içerir. Bu durumda, yayların yönünü görmezden gelebilir ve yönlendirilmediklerini düşünebiliriz. Biz kenarları diyoruz E siyah kenarları ve kenarları A kenarları kırmızı .

$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$ve kırmızı kenarla, ancak ve ancak maddesi ise görünmez cp .$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

Kasılmadan sonra kırmızı kenar sayısını en aza indirgemek için sadece siyah kenarlardaki maksimum eşleşmeleri dikkate almamız gerektiği açıktır. Her maksimal uygun olduğu da açıktır M siyah kenarları içinde oluşur , n bağlantı kenarları için için i = 1, ..., n . Bu maksimum eşleme M'yi doğruluk atamasıyla tanımlayın . Bu sözleşme sonra doğrulamak için kolaydır M paralel kenarlara ve kaldırma, grafik tam olarak var , kırmızı kenarları, k$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$bu hakikat tayininden memnun edilen madde sayısıdır. Bu nedenle, siyah kenarlarda bir eşleştirme yaptıktan sonra kırmızı kenarların sayısını en aza indirmek, memnun cümlelerin sayısını en üst düzeye çıkarmakla eşdeğerdir.