Kuantumdan klasik rastgele yürüyüşlere geçiş

Hızlı sürüm

Herhangi bir için olarak yayılmayı ayarlayabilmemiz için hatta kuantum yürüyüşü için yapışma modelleri var mı? $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$

Motivasyon

Klasik rastgele yürüyüşler algoritma tasarımında yararlıdır ve kuantum rastgele yürüyüşlerin bir dizi serin kuantum algoritması yapmak için yararlı olduğu kanıtlanmıştır (bazen kanıtlanabilir üstel hızlanmalarla ). Bu nedenle, kuantum ve klasik rastgele yürüyüşler arasındaki farkı anlamak önemlidir. Bazen bunu yapmanın en kolay yolu, hatta yürüyüşler gibi oyuncak modellerini düşünmektir.

Bir fizik motivasyonu da var: kuantum mekaniğinin klasik mekaniğe nasıl ölçeklendiğini bilmek ilginç. Ancak bu, cstheory ile çok ilgili değil.

Kişisel motivasyonum tamamen dikey: Bazı deneysel verileri kuantumdan klasiklere geçiş yapan ve nispeten sezgisel bir modelle eşleştirmeye çalışıyorum.

Arka fon

Tamsayı çizgisinde kuantum ve klasik yürüyüşler göz önüne alındığında, önemli bir fark, kuantum yürüyüşünün standart sapmasının (pozisyon dağılımının) ve klasik olanların burada , ayrı bir model için adım sayısı veya sürekli bir modeldeki zaman sayısıdır. Bunun hatla sınırlı olmadığını ve birçok grafik için kuantum ve klasik karıştırma süresi arasında benzer bir kuadratik ilişki göreceğinizi unutmayın, analiz etmenin daha kolay olduğunu düşündüğüm için çizginin kısıtlı durumunu düşünürüm. $\Theta(t)$ $\Theta({t^{1/2}})$ $t$

Bir kuantum yürüyüşüne (ölçüm veya gürültü yoluyla) bağlılık getirdikçe, yürüyüş daha klasik davranmaya başlar. Aslında, çoğu ölçüm için , doğru zaman ölçeğinden bakıldığında olarak yayılan klasik bir yürüyüşle sonuçlanır . Diğer yapışma biçimleri için (madeni parayı küçültmek veya hatta kusurları sokmak gibi) genellikle, yürüyüşün kuantum olarak davrandığı ( olarak yayılmış ) ve üzerinde yürüyüşün klasik olmaya başladığı ( ) olarak yayılır . Aslında, bu ölçeklendirme kuantum yürüyüşünün tanımı olarak bile önerilmiştir. $\Theta(t^{1/2})$ $\Theta(t)$ $\Theta(t^{1/2})$

Sorunun uzun versiyonu

Hattaki rastgele bir yürüyüş için yapışma modelleri var mı, öyle ki, yapışma miktarını değiştirdikçe, herhangi bir için olarak ölçeklenen konumda standart bir sapma elde edebiliriz. ? Alternatif olarak, karıştırma veya vurma süresinde bir boşluğa sahip diğer grafikler için, herhangi bir için olarak giden karıştırma / vurma / standart sapmaya sahip olabilmemiz için ayrışma biçimleri vardır. ve burada klasik karıştırma / vurma / STD ve saf kuantumdur. Bu mümkün değilse, bu tür bir veya bir başka davranışı görmemizin daha derin bir nedeni var mı? $\Theta(t^k)$ $1/2 \leq k \leq 1$ $f(t)$ $f \in \Sigma(g(t))$ $f \in O(h(t))$ $g(t)$ $h(t)$

quantum-computing random-walks quantum-walk

— Artem Kaznatcheev
kaynak

sorudaki bir şeyi hassaslaştırmamı istiyorsanız, lütfen belirtin. Bu sorunun kapsamından endişe ediyorsanız meta tartışmaya katkıda bulunun .

— Artem Kaznatcheev

Harika bir soru. Aslında, aynı soru birkaç ay önce üzerinde çalıştığım bir şeyde ortaya çıktı ( arXiv: 1011.1217 ). Görünüşe göre herhangi bir doğal türden ayrışma, başlangıçta balistik görünen, ancak zaman arttıkça yaygınlaşan davranışlara yol açtığı için, bir rejimi ile bir rejimi arasında geçiş yapıyorsunuz . Bunun bir örneği için yukarıdaki makaledeki şekil 2'ye bakınız. Devletiniz giderek tutarlılığını yitirdiğinden, bu doğal davranış gibi görünmektedir. $t$ $t^{\frac{1}{2}}$

Bu, varyansın sadece veya olarak ölçeklendiğini ve dolayısıyla yürüyüşün veya olarak yayıldığını düşündürmektedir . $t$ $t^2$ $t^{\frac{1}{2}}$ $t$

Bununla birlikte, gürültü verildiğinde kuantum metrolojisinde tam olarak aynı şey olur, ancak bir ara ölçeklendirme elde etmek için aşılabilir (bkz. Örneğin JA Jones ve diğerleri, Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , vb.). Bunu başarmanın bir yolu ara ölçümler yapmaktır.

Her zaman periyodundan sonra walker'ın konumunu ölçtüğünüzü düşünün dalga fonksiyonunu çöker ve aralarında serbest evrime izin verir. Şimdi, sistemi toplam süre için geliştirmek istediğimizi düşünün . Daha sonra bu süreden sonra yürüteç pozisyonundaki sapma . Başka bir decoherence olmadığında, yürüteç balistik olarak hareket ettiğini biliyoruz ve bu nedenle ve böylece . Ancak, , ve . Böylece $T$ $t=nT$ $\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$ $\mbox{Var}(x(T)) = T^2$ $\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$ $t=nT$ $n\propto t^k$ $T\propto t^{1-k}$ $\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$ . Bu şekilde, ölçüm aralığını uygun şekilde seçerek herhangi bir ara ölçeklendirme elde edebilirsiniz.

— Joe Fitzsimons
kaynak

'balistik' davranış nedir?

— Suresh Venkat

@Suresh: Üzgünüm, fizik isimlendirmesine geçtim. Bu şekilde varyans terazi anlamına yerine . Temel olarak dalganın dağılmak yerine sabit hızda yayıldığı anlamına gelir.

t^{2}

$t^2$

t

$t$

— Joe Fitzsimons

son paragraf biraz doğal görünmüyor. Yürüteçimizi sabit bir süre için çalıştıracağımızı bilsek de geçerli olsa da, genellikle asimptotiklerle olarak ilgilenmiyor muyuz ? Bunun sınırda çalışması için, uygun şekilde tanımlayamayacağız gibi görünüyor . Biraz özenle ölçümüne kadar ne kadar bekleyeceğimizi söyleyen fonksiyonunu tanımlayabiliriz ve daha sonra herhangi bir ölçeklendirme yapmak için ince ayar yapabiliriz, ancak bu da bir hack gibi görünüyor, çünkü hayal ediyorum ortamlar doğal olarak böyle hassas bir ölçüm şeması uygulamamaktadır.

t \to \infty

$t \rightarrow \infty$

T

$T$

f (n)

$f(n)$

n

$n$

— Artem Kaznatcheev

@Artem: Evet, bunun garip ve doğal olmayan olduğuna katılıyorum, ama en azından başlangıçta göründüğü metroloji bağlamında bunun bir nedeni var. Fikir şu ki, decoherence normalde sınırını empoze edecektir , ancak ne kadar evrilmek istediğinizi biliyorsanız, periyodik ölçümlere ayırabilir ve çekim gürültü sınırından daha iyisini yapabilirsiniz. Bu cevap sadece bu sonuçları kuantum rastgele bir yürüyüşe uyguluyor.

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$

— Joe Fitzsimons

@Artem: Doğal evrim için, geçiş bölgesi olan balistik difüzyonun olduğu bir bölgeye sahip olma eğilimindesiniz, de sürekli büyümeye yavaşlıyor . Bunun nasıl gerçekleştiğini görmek kolaydır: kısa zaman ölçekleri için çok az bir ayrışma vardır ve bu nedenle evrim kuantum gibi görünür. Bununla birlikte, eğer yeterince uzaklaşırsak, zinciri bölgelere bölerek ve bu bölgeler arasındaki atlama dinamiklerini göz önüne alırsak, evrim sonunda klasik görünür, çünkü tutarlılık böyle bir bloğu geçecek kadar uzun sürmez ve dolayısıyla klasik bir rastgele yürüyün.

t^{\frac{1}{2}}

$t^\frac{1}{2}$

— Joe Fitzsimons