Chernoff bağlı bir uzantısı

13

Ben Chernoff aşağıdaki uzantısı için bir referans (yapabileceğim bir kanıt değil) arıyorum .

Let Boole rasgele değişkenler olarak mutlaka bağımsız değildir . Bunun yerine, her bir ve her olay için yalnızca bağlı olduğu garanti edilir . $X_1,..,X_n$ $Pr(X_i=1|C)<p$ $i$ $C$ $\{X_j|j\neq i\}$

Doğal olarak bir üst sınır istiyorum . $\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

Şimdiden teşekkürler!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— Meraklı
kaynak

26

İstediğiniz, değişken indekslerin herhangi bir alt kümesi S için sadece olduğunu varsayan genelleştirilmiş Chernoff . İkincisi için, çünkü senin varsayımdan yola çıkılarak , Impagliazzo ve Kabanets kısa süre önce genelleşmiş olanlar da dahil olmak üzere Chernoff sınırının alternatif bir kanıtını verdiler. Makalelerinde önceki çalışmalara uygun tüm referansları bulabilirsiniz: http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$

— Dana Moshkovitz
kaynak

Açıklama için teşekkürler! Aslında, durumları hem sahip olduğum şeyle hem de negatif korelasyonlarla ima edilir. Yani, gerçekten niteliksel olarak daha güçlü (Sevgililer konuşmasını duyduğumda bir şekilde özledim). Şimdi ihtiyacım olanın kanıtı o kadar kısa ki, sorumu cevap olarak memnuniyetle işaretliyorum, çok teşekkürler !!

— meraklı

3

Sizin durumunuzda, değişkenlerinizden bir alt martingale oluşturabilir ve klasik Azuma'nın eşitsizliğini aynı etki için kullanabilirsiniz. Bunun çalışması için sadece varsayımınızın ima ettiği vardır.

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— Mehdi Cheraghchi

7

Literatürde farkında olduğum en yakın şey, Chernoff sınırlarının negatif korelasyonlu rastgele değişkenlere genişletilmesidir, örneğin buna veya buna bakın . Resmi olarak, durumunuz negatif korelasyon olmadan tatmin edilebilir, ancak fikir benzerdir.

Genellemenizi kanıtlamak zor olmadığından, hiç kimse bunu yazmayı zahmet etmeyebilir.

— Lev Reyzin
kaynak

Haklısın, bu da bulduğum en yakın olanıydı ("Algoritmaların Analizi için ... Konsantrasyonda"). Mesele şu ki, el yazmam çok uzun sürüyor, mümkünse başka bir dönüşten kaçınmak isterim. Değilse, başka seçeneğim yok ...

— meraklı

3

Ekler için bu :)

— Lev Reyzin

2

Hey, çocuklar, daha önce kanıtlandı ve cevabımda bir referans verdim (diğer ilgili referansları da bulabileceğiniz yere).

— Dana Moshkovitz

Hata! Bir şekilde cevabını fark etmedim!

— Lev Reyzin

3

Alternatif bir referans, B. Doerr'de Lemma 1.19, Rasgele arama sezgiselliğinin analizi: Olasılık teorisinden araçlar, Rasgele Arama Sezgiselliği Teorisi (A. Auger ve B. Doerr, ed.), World Scientific Publishing, 2011, s. 20.

Basit bir deyişle, gösterileri bu zaman olasılık ile olursa olsun kondisyon Ne , ardından üzerine tatmin bağımsız geçerlidir tüm Chernoff-Hoeffding sınırları ikili rasgele değişkenler başarı olasılığı . Kanıt temeldir ve sonuç doğaldır, bu yüzden kimse bunu yazma gereğini hissetmedi. $X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$

— Benjamin Doerr
kaynak