Eşsiz Bağlanabilirliğin Karmaşıklığı


11

Aşağıdaki sorun karar olup olmadığını bilmek isteyen NL (nondeterministic logspace):

Yönlendirilmiş bir grafiktir verilen G iki ayırt edici noktalar ile ve , bir olduğu benzersiz bir mesafede yol için olarak ?tstt GstG

Bunun içinde olması muhtemeldir hissediyorum biz orada hem kendi karar verebilir beri - -Path ve böyle bir yol varsa. Bununla birlikte, bu yolların sayısını saymak -hard (Valiant, 1979). s t PNLstP

Sorularım: Bu konuda referanslarınız var mı? içinde olduğu belli mi? Yoksa N L' de değil mi?NLNL


5
Basit yollar mı demek istiyorsun? Bu bağlamda aynı olduğu açık değil.
Lance Fortnow

1
İyi bir nokta, aslında basit yollar demek istiyorum.
Bruno

Yanıtlar:


16

Senin problemin olduğunu görünüyor . İşte bir algoritma.NL

Birincisi, nondeterministically bir yolunu tahmin için t . Yanlış tahmin ederseniz, reddedin . Bu algoritmaya A deyin .stA

En az iki yol olup olmadığını belirleyen aşağıdaki belirleyici olmayan algoritmayı düşünün . Bir grafik ve verilen s , t belirgin kenarları çiftleri için, e , f , bir yolu tahmin s için T içerir , e , ancak f , daha sonra bir yol tahmin s için T içerir f değil e . Tahminler doğruysa kabul edin . E ve f'nin tüm seçenekleri için kabul olmazsa , reddedin . Not BBs,te,fstefstfeefB belirleyici olmayan günlük alanında uygulanabilir.

Şimdi, resim grubu grubu olduğu s - T en az iki yolları ile grafikler s için t . Çünkü K L = C O , N , L , tamamlayıcı B olarak da K , L , yani, biz belirleyebilir s ve t sahip az nondeterministic logspace olarak, iki yolu.L(B)ststNL=coNLBNLst

Nihai algoritma şudur: "Run edin. A kabul eder daha sonra tamamlayıcı çalıştırmak B ve çıkış onun cevabını."AAB

Bir referans bilmiyorum.

GÜNCELLEME: Gerçekten bir referans istiyorsanız, bu makalenin 3. Bölümünün ilk paragrafına bakın . Ancak bu muhtemelen bu sonuca atıfta bulunan birçok referanstan sadece biridir. Sonuçtan bahsetmekte olan bir makaleye atıf yapmak yerine sonucu "folklor" olarak adlandırmak daha mantıklı olacaktır.

GÜNCELLEME 2: Benzersiz bir basit yol olup olmadığını belirlemek istediğinizi varsayalım. Bu durumda, algoritmasının değişmesi gerekmez: eğer bir yol varsa, o zaman basit bir yol vardır. Aşağıdaki modifikasyonun B algoritması için çalışacağına inanıyorum .AB

En az iki basit yol varsa, algoritmasını yeniden yazmak istiyoruz .B

Öncelikle sorun için aşağıdaki polinom-zaman algoritmasını göz önünde bulundurun. Bir en kısa yol ile ilgili s için t . Her kenar için e de P başka varsa, kontrol s - t geçmez yol e . Böyle bir yol bulursanız kabul edin . Asla başka bir yol bulamazsanız reddedin . Çünkü p kısa, bu bir devri sahip değildir ve bazı kenar kullanmayan başka bir yol olup olmadığını P , daha sonra basit ve bazı kenar kullanmayan bir yol yoktur PPstePstePPP. (Bu algoritma "ikinci en kısa yollar" sorunu için kullanılır.)

Bu algoritmayı de uygulayacağız . Biz olsaydı K L kenarları sorgulamak için bir algoritma e sabit bir yol içinde , P , biz nondeterministic logspace yukarıda uygulamak: tüm kenarları yineleme e de P , bir tahmin s - T yolu boyunca ve ziyaret edilen her kenar için kontrol hiçbiri e'ye eşit değildir .NLNLePePste

Yani ihtiyacımız olan bir "yol kâhin", şu özelliklere sahip bir algoritmasıdır: verilen i = 1 , , n , her hesaplama yolunda algoritma ya belirli bir sabit s - t yolundaki i kenarını rapor eder ya da reddetmek . Sözlükbilimsel olarak ilk yolu izole etmek için N L = c o N L kullanarak bir yol kehaneti elde edebiliriz .NLi=1,,nistNL=coNL

İşte yol kâhininin bir taslağı.

Bul , en kısa yolun uzunluğuna s için t deneyerek, her k = 1 , ... , n izlenerek ve N- L = c O , N , L .kstk=1,,nNL=coNL

, x : = 1 , j : = k değişkenlerini ayarlayın .u:=sx:=1j:=k

Tüm komşularının için ait u sözlük sırasını içinde,vu

Bir yol olup olmadığını ya da belirleme için t uzunluğu j - 1 (sonuç kullanılarak K L = C O , N , L ). Daha kesin olarak, s - t bağlantısı için belirsiz olmayan algoritmayı ( j - 1 uzunluğunda ) ve tamamlayıcı algoritmasını aynı anda çalıştırın. Bunlardan biri kabul ettiğinde cevabı ile gidin (doğru olmalı; ikisi de kabul edemez). Her ikisi de reddederse reddedin .vtj1NL=coNLstj1

Yol yoksa, bir sonraki komşuya geçin. Tüm komşuları tükettiğinde reddet .

Bir yol ise, o zaman, eğer , çıkış ( u , v ) olarak ı den yola inci kenar s için t . Aksi takdirde , x'i artırın, j'yi azaltın , u : = v olarak ayarlayın ve v t ise for döngüsünü yeniden başlatın .x=i(u,v)istxju:=vvt

Eğer t çıkışına ulaştıktan sonra kötü i (verilen i çok büyüktü).x<itii

Verilen , bu algoritma ya çıktılar i sözlük sırasında en kısa yol üzerindeki inci kenar P arasından s için t ya da ıskarta.iiPst


Ben benzer bir şey düşündüm ama doğrusal boşluk kullanır. Cevabınız için teşekkürler!
Bruno

5
Gerçekten folklor olduğuna katılıyorum. Bu çöküşü hemen bir sonucudur hiyerarşi. Ayrıca, sayım sorunu # P-tam değil. Bu da olduğu #L, içinde , N Cı- 2NLNC2
V Vinay

2
Evet, yukarıda belirttiğim gibi, algoritma basit yolları ve döngülü yolları ayırt etmez.
Ryan Williams

1
@V Vinay: Bu makalede yazarlar Valiant'ın makalesine atıfta bulunmaktadır . Sayım ve güvenilirlik sorunlarının karmaşıklığı , sorunun tamlığını kanıtlamaktadır . Valiant'ın gazetesini yeni kontrol ettim ve sorun 14 (p414). Bir şeyi yanlış mı anlıyorum? Belki basit olmayan yollardan bahsettiniz ve bu durumda karmaşıklık önemli ölçüde değişiyor? Teşekkürler! P
Bruno

1
Btw, Allender & Lange'nin yorumu doğrudan sonuçlandırmak için yeterlidir.
Bruno
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.