Grafik Özelliklerinin Hassasiyeti

[1] 'de Turan, bir grafik özelliğinin hassasiyetinin (kağıtta "kritik karmaşıklık" olarak adlandırılır) kesinlikle ; burada , grafikteki köşe sayısıdır. Önemsiz herhangi bir grafik özelliğinin duyarlılık . Bunun için doğrulandığından bahseder . Bu varsayımda bir ilerleme kaydedildi mi?m≥m-1m≤$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

Arka fon

içinde ikili bir dize olsun . Tanımlama için 1 ≤ i ≤ n elde edilen dizi olmak x saygısız ı t h bit. Bir Boole fonksiyonu için f : { 0 , 1 } , n \ için { 0 , 1 } , tanımlama duyarlılığını f de x olarak s ( f ; X ) : = | { i{ 0 , 1 } n x $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$. Son olarak, tanımlamaduyarlılıkve$f$ olarak$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$ .

Bir grafik özelliği $\mathcal P$ bir koleksiyon örneğin grafik halinde olduğu takdirde $G \in \mathcal P$ ve $G'$ izomorf $G$ ardından $G' \in \mathcal P$ . Bir grafik özelliği düşünebiliriz $\mathcal P$ özellikleri, birlik olarak $\mathcal P_m$ burada $\mathcal P_m$ oluşan bir alt grup $\mathcal P$ ile grafiklerin oluşturduğu $m$ köşe. Bundan başka, bir grafik özelliği tasavvur edebilir $\mathcal P_m$ üzerinde bir mantıksal fonksiyonu olarak $\{0,1\}^n$ burada$n = {m \choose 2}$. uzunluğundaki ikili vektörde köşelerinde bir grafiği kodlayabiliriz ; vektördeki her giriş bir çift köşeye karşılık gelir ve giriş, grafikte kenar mevcutsa . Bu durumda, bir grafiktir özelliği duyarlılığı olan hassasiyetidir olmaz boolean işlevi.$m$$n$$1$

1. Turan, G., Grafik özelliklerinin kritik karmaşıklığı, Bilgi İşleme Mektupları 18 (1984), 151-153.

Suresh'in işaret ettiği anket Wegener [1] tarafından varsayımı kısmen doğrulayan bir makale ortaya koymaktadır. Tüm monoton grafik özellikleri için geçerlidir ve eşitsizlik sıkıdır ("İzole köşeleri yoktur" özelliğini dikkate alın). Daha yeni sonuçlar da takdir edilecektir.

1. Wegener, L. Tüm (monoton) Boole fonksiyonlarının ve monoton grafik özelliklerinin kritik karmaşıklığı. Bilgi ve Kontrol , 67: 212-222, 1985.