P ve NPC Arasındaki Sorunlar

Faktoring ve grafik izomorfizmi, NP'de P de olduğu veya NP-Komple olmadığı bilinen problemlerdir. Bu özelliği paylaşan diğer (yeterince farklı) doğal problemler nelerdir? Doğrudan Ladner teoreminin kanıtından gelen yapay örnekler sayılmaz.

Bu örneklerden herhangi biri, yalnızca “makul” bir hipotez olduğu varsayımıyla kanıtlanabilir bir NP-orta aracı mıdır?

P ve NPC arasındaki bazı sorunların cevaplarının bir koleksiyonu:

• faktoring
• İzomorfizm sorunları: Grafik İzomorfizmi [ olmadıkça NPC değil ] (@Jeff Kinne aracılığıyla), Grafik Otomorfizmi, Grup İzomorfizmi, Otomorfizm, Halka İzomorfizmi ve Otomorfizm (@Joshua Grochow aracılığıyla)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• İki ikili ağaç arasındaki dönme mesafesinin veya aynı düzlemsel nokta kümesinin iki üçgenlemesi arasındaki çevirme mesafesinin hesaplanması (@David Eppstein aracılığıyla)
• Noktalar arası mesafelerdeki noktaları yeniden inşa etmenin Turnpike Problemi (@Suresh Venkat üzerinden)
• Eşsiz Oyun Varsayımından Kaynaklanan Sorunlar (@Moritz üzerinden)
• Kesikli Günlük Sorunu ve kriptografik varsayımlarla ilgili diğerleri (@Joe Fitzsimons aracılığıyla)
• Eşlik oyunlarında kazanan belirleme (@mashca ile)
• Stokastik bir oyun kazanma şansının kimin yüksek olduğunu belirlemek (MO'da @Peter Shor aracılığıyla)
• Kutu problemlerindeki sayılar (@Joshua Grochow aracılığıyla)
• Dengeli tek eleme turnuvaları için gündem kontrolü (@virgi yoluyla)
• Düğüm önemsizliği (@JeffE aracılığıyla)
• (NEXP ≠ EXP varsayımıyla) NEXP ile ilgili sorunların dolu versiyonları ( @Joshua Grochow aracılığıyla)
• TFNP'deki sorunlar (@Marcos Villagra aracılığıyla)
• Kesişen Monoton SAT (@ András Salamon üzerinden)
• Minimum Devre Ebadı Problemi (@Eric Allender ile)
• Bir üçgenlenmiş 3-manifoldu verilen bir 3-küre olup olmadığına karar verme (@Joe O'Rourke ve @Peter Shor ile)
• Kesme Hazır sorun (@Suresh venkat ile) nesne uzunluklarının bir sabit sayıda
• Monoton Öz-İkilik (@Danu üzerinden)
• Düzlemsel Minimum Bisküvi (@turkistany ile)
• Pigeonhole Altkümesi Toplamı (@ user834 aracılığıyla)
• Karekök Toplamları (@JeffE aracılığıyla)
• Grafiğin Zarif Bir Etiketleme Kabul Edip Etmediğine Karar Verme (via @Oleksandr Bondarenko)
• Kafes probleminde en yakın vektörün boşluk versiyonu GapCVP (@MCH ile)$(\sqrt{n})$
• Doğrusal bölünebilme sorunu [bilinen olmak -Komple ancak NPC] (@Oleksandr Bondarenko ile)$\gamma$
• VC boyutunu bulma (@Mohammad al Turkistany aracılığıyla)
• Bir turnuvada minimum baskın takımı bulmak (@Mohammad al Turkistany aracılığıyla)
• Kümelenmiş düzlemcilik

Bu sınıftaki en sevdiğim sorun (işlevsel bir sorun olarak ifade edeceğim, ancak standart şekilde bir karar sorununa dönüşmek kolaydır): iki ikili ağaç arasındaki dönme mesafesini hesaplayın (eşit olarak, iki üçgenleme arasındaki çevirme mesafesini hesaplayın). dışbükey bir çokgen).

Bu listede ya da MO listesinde belirtilen bir sorun, acil sorun değildir. Çok sayıda n (n-1) / 2 sayısından oluşan kümeler göz önüne alındığında, her iki hattaki iki nokta arasındaki mesafeyi temsil eden sayı, orijinal noktaların konumlarını yeniden oluşturur.

Bunu önemsiz kılan şeyin, multiset'te belirli bir d sayısı için, hangi nokta çiftinin d birimi olduğunu bilmiyor olmanızdır.

Her hangi bir örnek için yalnızca çok sayıda çözüm olduğu bilindiği halde, bunun nasıl bulunacağı bilinmemektedir!

probleminin toplamı: ve pozitif tamsayıların iki sırası göz önüne alındığında , eşit veya daha küçüktür daha ?b 1 , b 2 , … , b n A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ B:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• Sorunun, gerçek RAM üzerinde önemsiz bir zamanlı algoritması var - Sadece toplamları hesaplayın ve karşılaştırın!$O(n)$

• Açıkça bir sonlu hassasiyet algoritması vardır, ancak doğruluk için bir polinom hassaslık bitinin yeterli olup olmadığı bilinmemektedir. (Ayrıntılar için http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html adresine bakın.)

• Pythogorean teoremi, köşeleri ve tamsayı bitiş noktaları olan bir çokgen eğrinin uzunluğunun, tamsayıların kare köklerinin toplamı olduğunu ima eder. Bu nedenle, köklerin toplamı sorunu, Öklid minimum yayılma ağaçları , Öklid kısa yolları , minimum ağırlık üçgenlemesi ve Öklid seyahat eden satıcı problemi gibi birkaç düzlemsel işlemsel geometri probleminde doğasında bulunmaktadır . (Öklid MST problemi, altta yatan matroid yapısı ve EMST'nin Delaunay üçgenlemesinin bir altyazısı olması gerçeği sayesinde, köklerin toplamı problemini çözmeden polinom zamanında çözülebilir.)

• Orada olan bir polinom zamanlı randomize algoritma, Johannes Blömer nedeniyle iki toplamları eşit olup olmadığına karar. Ancak, eğer cevap hayır ise, Blömer'in algoritması hangi toplamın daha büyük olduğunu belirlemez.

• Bu sorunun karar versiyonunun ( ?) NP'de olduğu bile bilinmemektedir. Bununla birlikte, Blömer'in algoritması, karar problemi NP'de ise, o zaman aynı zamanda yardımcı NP de olduğunu ima eder. Bu nedenle, sorunun NP tamamlanmış olması olası değildir.$A > B$

Burada, "yeterince" farklı olarak nitelenebilecek veya olmayabilecek sorunların bir listesi bulunmaktadır. Graph Isomorphism'in kanıtlarıyla aynı, bunlardan herhangi biri NP tamamlanmışsa, Polinom Hiyerarşisi ikinci seviyeye çöküyor. Bunlardan hangisinin P'de olması gerektiği konusunda geniş bir fikir birliği olduğunu sanmıyorum.

• Grafik Otomorfizmi (grafiğin önemsiz bir otomorfizme sahip olup olmadığını belirleyin). Grafik İzomorfizmini Düşürür, fakat GI-hard olduğu bilinmez (düşünülmedi mi?).
• Grup İzomorfizmi ve Otomorfizmi (gruplara çarpım tablolarıyla verilen). Yine, Grafik İzomorfizmi azalır, ancak GI'nın zor olduğu düşünülmez.
• Halka İzomorfizmi ve Otomorfizmi. Bir anlamda, bu tüm yukarıdaki sorunların büyük babasıdır, çünkü tamsayı faktörü bir halkanın önemsiz bir otororfizmini bulmakla eşdeğerdir ve Graph Isomorphism, Ring Isomorphism'e indirgenir. Bkz. Neeraj Kayal, Nitin Saxena. Halka Morfizmi Problemlerinin Karmaşıklığı. Hesaplamalı Karmaşıklık 15 (4): 342-390 (2006). (İlginç bir şekilde, belirleyici bir halka aşikar olmayan otomorfizm varsa olan ).$P$
• Bill Gasarch'ın yazdığı bu yazı , Ramsey teorisinin tadı ile ara olabilecek gibi görünen başka bazı problemler içeriyor.
• Mahaney'in Teoremi'ne göre, hiçbir seyrek NP-tamamlanamaz. Ama aynı zamanda seyrek setleri de olduğunu biliyoruz - iff eşit değildir . Yani varsayarak , herhangi yastıklı versiyonu -tamamlamak problemin ara karmaşıklığı olduğunu. (Böyle bir dizi olamaz sürece bizim varsayımı ters.) Doğal bol vardır -tamamlamak problemler.P N E X P E X P N E X P ≠ E X P N E X P P N E X P = E X P N E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$$NEXP$

Asgari Devre Boyutu Sorunu (MCSP), NP'de tamamlanmadığı bilinen NP'deki en sevdiğim "doğal" sorundur: m-değişkenli bir Boolean işlevinin f (ve n = 2 ^ m boyutunda) s sayısı verildiğinde, f, s boyutunda bir devreye sahip midir? MCSP kolay ise, şifreli tek yönlü bir işlev yoktur. Bu problem ve varyantları, Rusya'daki “kaba kuvvet” algoritmalarının araştırılması için motivasyon sağladı ve Levin'in NP bütünlüğü konusundaki çalışmalarına yol açtı. Bu problem, kaynağa bağlı Kolmogorov karmaşıklığı açısından da görülebilir: kısa bir açıklamadan bir ipin hızlı bir şekilde kurtarılıp kurtarılamayacağını sorma. Sorunun bu hali Ko; MCSP ismi bildiğim kadarıyla ilk önce Cai ve Kabanets tarafından kullanıldı. Bazı makalelerde daha fazla kaynak bulunabilir: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Monoton öz dualite

Herhangi bir boolean işlev için , çift . CNF formülü ile temsil edilen verildiğinde olup olmadığına karar vermeliyiz . $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$$f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f=f^d$

Bu sorun eş-NP [ ] 'dedir, yani olmayan adımlarla çözülebilir . Bu nedenle, yarı-polinomlu bir zaman algoritmasına ( ) sahiptir ve dolayısıyla eş-NP-zor olması muhtemel değildir.$\log^2 n$$O(\log^2n/ \log\log n)$$O(n^{\log n/\log \log n})$

Bu sorunun P de olup olmadığı hala açık. Thomas Eiter, Kazuhisa Makino ve Georg Gottlob'un " Monoton dualizasyonun hesaplamalı yönleri: Kısa bir anket " başlıklı 2008 makalesinde daha fazla ayrıntı bulunabilir .

Düğüm önemsizliği: 3-uzayda kapalı bir poligonal zincir verildiğinde, bilinmeyen bir şey mi (yani, düz bir daireye ortam-izotopik)?

Bunun normal yüzey teorisinde derinlemesine sonuçlarla NP'de olduğu bilinmektedir, ancak çoklu zaman algoritması veya NP sertliği kanıtı bilinmemektedir.

Polinom zamanında, oyuncunun 1 bir parite oyununda (belirli bir başlangıç ​​pozisyonundan) bir kazanma stratejisi olup olmadığına karar vermenin mümkün olup olmadığı bilinmemektedir. Bununla birlikte, sorun NP ve ko-NP'de ve hatta UP ve ko-UP'dedir.

Max-Cut'ın bir faktör 0,78'e yaklaştırılması gibi yaklaşım sorunlarını kabul etmeye istekli olmanız durumunda, çok uzun bir sorun listesi elde edersiniz. NP-sert mi yoksa P'de mi olduğunu bilmiyoruz (sadece Uniuqe Oyun Varsayımını varsayarsak NP sertliğini biliyoruz).

Bir monoton CNF formülünde her madde sadece olumlu değişmezler veya yalnızca olumsuz değişmezler içerir. Bir in kesişen monoton CNF formül her pozitif maddesi her olumsuz madde ile ortak bir değişken vardır.

Karar sorunu

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter ve Georg Gottlob, Mantık ve AI'da Hipergraf Çapraz Hesaplama ve İlgili Sorunlar , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

Verilen üçgenlenmiş 3 manifoldu 3 küre midir? Joe O'Rourke'den.

Altküme Toplamının (veya Altküme Toplamı Eşitliğinin) Güvercin Deliği Sürümü .

Verilen:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

Güvercin deliği alt kümesinin toplamı böyle bir çözüm ister. Başlangıçta " SUBSET-SUMS EQUALITY problemi için verimli yaklaşım algoritmaları " bölümünde Bazgan, Santha ve Tuza tarafından belirtilmiştir.

Gizli alt grupları bulmakla ilgili birçok sorun var. Faktoring'den bahsettiniz, ancak elips eğrileriyle ilgili diğerlerinin yanı sıra ayrık kütük problemi de var.

İşte, hesaplamalı sosyal seçimde P olarak bilinmeyen ve NP tamamlanmış olabilen bir problem.

Dengeli tek eleme turnuvaları için gündem kontrolü:

$T$$n=2^k$$a$

Soru: Düğümlerin müsaadesi var mı (bir dirsek ), böylece kazanılan tek elemeli turnuvanın kazananı olur mu?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Dengeli tek eleme turnuvaları için gündem kontrolü (grafik formülasyonu):

Verilen: turnuvası grafik ile düğümleri, düğümN = 2 k$T$$n=2^k$$a$

Soru:$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

Bazı referanslar:

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh: Sıralı Çoğunluk Oyunda Kazanan Tayini. IJCAI 2007: 1372-1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus ve M. Wooldridge. Seçimler ve Yarışmalar Nasıl Yapılır? COMSOC 2008.
3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham. Kesinti turnuvaları için zamanlama kontrol sorunları karmaşıklığı üzerine. AAMAS (1) 2009: 225-232.
4. V. Vassilevska Williams. Bir turnuva düzeltmek. AAAI 2010.

TFNP sınıfına bir göz atın . Ara statüsünde birçok arama problemi var.

İndüklenen altyazı izomorfizmi problemi, P'nin NP'ye eşit olmadığı varsayılarak NP eksik "sol taraf kısıtlamaları" na sahiptir. Bkz. Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: İndüklenmiş Alt Yazılı İzomorfizmaların Karmaşıklığını Anlamak , ICALP 2008.

$NP$$NP$

Minimum Biseksiyon sorunu: Geçiş kenarlarının sayısının en aza indirileceği şekilde, düğüm setinin iki eşit büyüklükte parçaya bölünmesini bulun.

Karpinski, Minimum Biseksiyon Probleminin Yaklaşılabilirliği: Algoritmik Bir Sorun

Sabit sayıda nesne uzunluğunda kesme stoğu problemi. Daha fazla bilgi için bu tartışmaya bakın .

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. Ja Gallian. Grafik etiketlemenin dinamik bir anketi. Kombinatorik Elektronik Dergisi, 2009.
2. DS Johnson. NP eksiksizliği sütunu: Devam eden bir kılavuz. J. Algoritmalar, 4 (1): 87-100, 1983.
3. DS Johnson. NP eksiksizlik sütunu. Algoritmalarda ACM İşlemleri, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey ve Johnson, "Bilgisayarlar ve Uyumluluk" adlı seminalinde şöyle diyorlar (s. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

Aşağıdaki sorunun NP-Intermediate olduğuna inanılmaktadır, yani NP'dedir ancak P'de veya NP-tamamında değildir.

Üreme Polinom Kök Sorunu (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Ek ayrıntılar için soruma ve ilgili tartışmaya bakın .

Thinh D. Nguyen'in cevabında öne sürülen ağırlıklı hipergraf izomorfizmi sorununun, GI'nin tam olduğu gösterilemez mi bilmiyorum. Ancak, henüz GI'ye indirgenmemiş olan GI ile yakından ilgili bir GI-zor problemi vardır, yani dize izomorfizm problemi (ayrıca renk izomorfizm problemi olarak da adlandırılır ). Bu aslında László Babai'nin yarı-polinom zamanında olduğu gösterilen bir problem. (Çıkarma) grup teorisindeki bir takım karar sorunlarına eşdeğer olduğu için bağımsız çıkarları vardır:

• coset kesişme sorunu
• çift ​​kodlu üyelik testi sorunu
• grup faktoringi sorunu

FP'de ya da NP-sert olduğu bilinen bir sorun, Steiner köşelerinin 120 ° açıyla kesişen iki düz çizgi parçasına düşmesi söz edildiğinde minimal bir Steiner ağacı bulma problemidir. Çizgi bölümleri arasındaki açı 120 ° 'den küçükse, sorun NP zorudur. Açı 120 ° 'den büyük olduğunda sorunun FP cinsinden olduğu varsayılır.

Bu nedenle, aşağıdaki karar sorunu şu anda orta düzeyde karmaşık görünmektedir:

$q$
$q$

Tabii ki, bu aslında P'de olabilir veya NP-tamamlanmış olabilir, ancak o zaman orta derecede bir sorun yerine 120 ° de ilginç bir ikilik yaşayacağız gibi görünüyor. (Varsayım da yanlış olabilir.)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Eğrilerle Sınırlanmış Terminaller İçin Steiner Ağaçları , SIAM J. Ayrık Matematik. 10 (1) 1-17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$