Sonsuz Bir Alanda Tensör Sıralaması'nın Karmaşıklığı

Bir tensör vektörler ve yüksek boyutlara matrisler ve bir genellemedir sıralaması bir tensörünün de matris sıralamasını genelleştirilmiş. Yani, bir tensörünün sıralaması $T$ sıralaması sayısının en az bir tensörü için toplamı yani $T$ . Bir vektör ve matris, sırasıyla derece 1 ve 2 tensörleridir.

elementler $T$ alanından gelir . Eğer sonlu ise, Håstad 3 derece tensör derecesinin en fazla NP-tamam olup olmadığına karar verdiğini , ancak rasyonları gibi sonsuz bir alan olduğu zaman , üst sınır vermeyeceğini (veya alıntılar) kanıtladığını kanıtlamıştır . $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

Soru: nin üzerine 3 tensör derecesinin en fazla olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığı için en iyi bilinen üst sınır nedir? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— Tyson Williams
kaynak

Over üzerindeki derece tensör derecesi ℚ üzerindeki aynı tensörün sırası ile aynı mı? Öyleyse, sorun Var Olan Varlıklar Teorisinin özel bir hali olarak formüle edilebilir ve bu nedenle PSPACE'te yatmaktadır.

— Tsuyoshi Ito

Önceki yorumumdaki fikir işe yaramayacak çünkü over üzerindeki üç derece tensör derecesi sometimes üzerindeki aynı tensörün sıralamasından bazen farklı. {X, y} iki boyutlu bir vektör uzayının temeli olsun ve 2xorx⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x tensörünü düşünün. Over üzerindeki sıralamasının iki, ancak ℚ üzerindeki sıralamasının ikiden büyük olduğunu görmek zor değil. (Bu örnek, over üzerindeki değerin Kruskal 1989'daki over değerinden farklı olabileceğini gösteren örneğin değiştirilmesiyle elde edildi .)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito Tamamen katılıyorum. Ayrıca herhangi bir üst sınır bulamıyorum.

— Tyson Williams

Karmaşıklıktan önce hesaplanabilirlik istemek daha iyi olduğunu düşünüyorum.

— Tsuyoshi Ito

Önemsiz upperbound Hastad da sorunu olan aynı kağıt kanıtlar ce o şekilde

fazla

. Kısmen doldurulmuş tensör verilen sıralaması vardır bunun bir tamamlama vardır: aşağıdaki daha genel bir problem, ce tamamlandıktan

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Kaveh

Yanıtlar:

Bu konuda yeni bir baskı var: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf . Tensörlerle ilgili rütbe ile ilgili sorunların çoğunun ve sert NP olduğunu göstermektedir . (Ayrıca üzerinde rütbeye karar vermenin NP'nin zor olduğunu belirtmektedir .) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— baronet
kaynak

Bart, bu baskı (Hillar ve Lim tarafından) müthiş ... çok teşekkür ederim.

— John Sidles

Güzel. Bununla birlikte, şu cümleyi anlamıyorum: "Håstad'ın sonucu

için geçerli olsa da , bu alan seçimleri, yukarıdaki problemlerden biri hariç (denklemlerin eşitear sistem olması hariç), herkes için bir anlam ifade etmiyor. analitik problemler sadece bir mutlak değere sahip karakteristik 0 tam bir alanın üzerine iyi tanımlanmış. böyle alanları arasında,

uygulamalarında olup bu alanlarda bizim tartışmaları kısıtlamak olacaktır bugüne kadar en çok ortak tarafından bulunmaktadır."

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Tyson Williams

Yukarıdaki alıntıda bahsedilen problemlerden biri rütbedir. Bu yazarlar, bir tensörün sırasının

üzerinde iyi tanımlanmadığını mı söylüyor ?

Q

$\mathbb{Q}$

— Tyson Williams

@Tyson: Yazarların sadece birçok sayısal uygulama için (kısmi diferansiyel denklemler, sinyal işleme)

veya

hesaplamaları yapmak istediğini söylemek istediğini düşünüyorum . Nümerik bir analist olduğum için,

tanımlanmış birçok uygulamayı göremiyorum .

rütbenin iyi tanımlanmadığını ima etmiyorlar .

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— Bart,

Bu gerçekten tek cevap olmasına rağmen (John bir yorum yapmak istediğinden beri), bu cevabın diğer önemli sonsuz alanlar (gerçekler ve kompleksler) üzerinde sertlik gösteren bir referans sağladığı için hala bu cevabı ödülü hakettiğine inanıyorum. Sorumun başından da anlaşılacağı gibi, genel olarak sonsuz alanlara merak ediyorum, ancak belirli bir cevabı olan bir soru sormak için gerekçeleri sormaya karar verdim. Birisi üst sınır sağlayabilirse (ya da hesaplanamaz olduğunu gösterebilirse), yine kabul edilen cevap olarak başka bir soru seçeceğim.

— Tyson Williams

Hesaplamalı Karmaşıklıkta Perspektifler adlı kitap : Bu yaz (Temmuz 2014) yayınlanan Somenath Biswas Yıldönümü Cilt, büyük ölçüde burada ulaştığımız fikir birliğine katılıyor. On sayfa 199 , diyor:

Bildiğim kadarıyla, üzerinde bilgi işlem tensörü rütbesi sorununun çözülebilir olup olmadığı bile bilinmiyor . Üzeri o reals varoluşsal teorisine azaltılabilir beri, durum, sorun Karar verilebilen ve hatta Pspace ediyor ... biraz daha iyidir. $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— Tyson Williams
kaynak

Yeni bir ön baskı da bunu doğrular: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf . (3. sayfadaki tabloya bakınız.)

— Huck Bennett

Not: Aşağıdaki metin bir yorum niteliğindedir… kesinlikle bir cevap değildir , aksine Charlie Slichter'ın Manyetik Rezonans Prensiplerinin sempatik geometri ve kuantum bilgi teorisi dilinde yeniden ifade edilmesinden ortaya çıkan pragmatik bir gözlemdir. doğal olarak polinom sıralı tensör-ürün durum-uzayları üzerine). Şu anda bu tensör sıralı yöntemlerin kısmi bir geometrik anlayışına , marjinal kuantum bilişimsel bir anlayışa, temelde karmaşıklık kuramsal veya birleştirici bir anlayışa ve çalışan (ancak büyük ölçüde ampirik) bir hesaplama anlayışına sahibiz.

Bu anlayışı genişletmek, derinleştirmek ve birleştirmek çok ilgileniyoruz ve bu nedenle diğer insanların bu konuda daha fazla cevap / yorum göndermesini umuyoruz.

Bizim pratik hesaplama deneyimimiz,

üzerinde rütbenin en dik iniş yöntemleriyle genel olarak izlenebilir olmasıdır ... anladığımız gibi, bu sağlamlık, Goldberg ve Kobayashi'nin holomorfik biseksiyonel eğrilik teoremini geometrik bir nedenden ötürü ortaya çıkarmaktadır. Bu, söylemeye gerek yok, kesin bir delil olmaktan uzak.

C

$\mathbb{C}$

— John Sidles
kaynak

Bu teoremi tanımlaması kolay mı? Olmazsa, iyi bir açıklama ve açıklama için bir link verebilir misiniz?

— Tyson Williams

@Tyson: John'un bir problem teorisinden değil, problemin örneklerini çözme konusundaki tecrübesinden bahsettiğini düşünüyorum.

— Joe Fitzsimons

Ona bir teorem hakkında sormuştun ve biri hakkında konuşmuyor gibi görünüyor. Sadece onu yanlış anladığını düşündüm.

— Joe Fitzsimons

Aslında, bir yorum gönderdiğimi ve bir cevap olarak göründüğünü görünce şaşırdığımı sanıyordum. Doh! Ben şimdi referans eklemek için düzenlemiştim, ancak yine de tatmin edici bir cevaptan çok uzak. Tyson Williams'dan güzel bir soru! :)

— John Sidles

@Joe Goldberg ve Kobayashi'nin holomorfik biseksiyonel eğrilik teoreminden bahsetti, ben de ona sordum. Bunun onu yanlış anladığım anlamına gelip gelmediğinden emin değilim.

— Tyson Williams