boyutunda bir DFA tarafından kabul edilen dil sayısı nedir ?

Soru basit ve doğrudan: Sabit bir , boyutunda bir DFA (yani eyaletleri) tarafından kaç (farklı) dil kabul edilir ? Ben resmen bunu bildirecektir: $n$ $n$ $n$

DFA'yı olarak tanımlayın , burada her şey her zamanki gibi ve (muhtemelen kısmi) bir işlevdir. Bunu belirlemek zorundayız çünkü bazen sadece toplam fonksiyonlar geçerli sayılır. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

Her , tüm DFA'ların kümesindeki (denklik) ilişkisini tanımlayın : eğer ve . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

O zaman soru şudur: belirli bir için dizini ? Yani, kümesinin mı? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

tam bir işlev olsa bile, kolay bir sayı gibi görünmemektedir (en azından benim için). Grafik bağlı olmayabilir ve bağlı bileşendeki başlangıç durumunu içeren durumların tümü kabul ediyor olabilir, bu nedenle, örneğin, kabul eden çok sayıda grafik vardır . Boş dil ve asgari DFA'sı durumundan daha az olan diğer diller için diğer önemsiz kombinasyonlarla aynıdır . $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(Saf) bir özyineleme de işe yaramıyor gibi görünüyor. boyutunda bir DFA alıp yeni bir durum eklersek, determinizmi korumak ve yeni grafiği bağlı hale getirmek istiyorsak (önemsiz durumlardan kaçınmak için), yeni durumu bağlamak için bir geçişi kaldırmamız gerekir, ancak bu durumda orijinal dili kaybedebiliriz. $k$

Düşüncesi olan var mı?

Not. Soruyu resmi bir ifadeyle ve önceki dikkat dağıtıcı unsurlar olmadan tekrar güncelledim.

— Janoma
kaynak

Açıklığa kavuşturmak için: " durumları kullanarak kaç farklı dil tanımlanabilir ?", Yani durumları kabul eden bir DFA varsa durumları kullanarak bir dil tanımlanır mı? Ayrıca, normal ifadeler için, "a * aaaaaa" ifadesinin mutlaka> 1 birleşimi vardır, ancak DFA yalnızca bir duruma (ayrı bir lavaboya ihtiyacınız varsa iki) ihtiyaç duyar, değil mi?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

Özür dilerim: Normal ifade örneği için, "a a a a a * *" olmalıdır, çünkü bu herhangi bir sayıya izin verir.

— Evgenij Thorstensen

tanımı "nokta derinliği" kavramıyla çok ilgili görünmektedir, ancak bu kavram normalde yıldızsız dillere uygulanır (muhtemelen @Evgenij Thorstensen ana hatlarıyla belirtilen nedenlerden dolayı).

c (r)

$c(r)$

— mhum

Önemsiz gözlem: En az farklı dil tanımlamak için durumları kullanılabilir .

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Evgenij Thorstensen

Biraz daha fazlasını alabiliriz, bu yüzden görünüyor. Ancak n durumlu otomata sayısı ( varsayarak ). Alabileceğimiz ?

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Kaveh

Bu sorunun daha önce incelendiğini düşünüyorum. Mike Domaratzki bu alanda araştırma üzerine bir anket yazdı: "Biçimsel Dillerin Sayımı", Bull. EATCS, cilt. 89 (Haziran 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Hermann Gruber
kaynak

Makale, sayfa 120 ve sonrasında istenen soruyu tam olarak ele almaktadır. Bu, ve tüm , kağıt üzerinde oldukça sıkı sınırlar ( yukarıda bahsettiğine yakın) verir.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen

Aslında. İstediğimiz şey, veya verilen , bir harfli alfabe üzerinde durumlu çift izomorfik olmayan en az DFA sayısı olan 'dir . Ben de ayrıntılı olarak bakmadım, ancak görünüşe göre sadece sınırlar biliniyor, kesin miktarlar değil.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— Janoma

Ve aynı yazardan, n Eyaletleri ile Sonlu Otomata tarafından Kabul Edilen Farklı Dil Sayısı Hakkında, hatta ( ), ( ) ve ( ).

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$

— Janoma