P dışındaki P sorunu olmayan sorunlar

Peter Shor'un bir cevabını ve Adam Crume'in önceki bir sorusunu okurken , $\mathsf{P}$ hard olmanın ne demek olduğu hakkında bazı yanlış düşüncelerim olduğunu fark ettim.

Bir problem, $\mathsf{P}$ herhangi bir sorun varsa -Sert $\mathsf{P}$ ile bunun indirgenebilir $\mathsf{L}$ (veya tercih ise $\mathsf{NC}$ ) azalma. Sorunu çözmek için bir polinom zaman algoritması yoksa dışında bir problem $\mathsf{P}$vardır. Bu, dışında olan $\mathsf{P}$ancak $\mathsf{P}$ hard olmayan bir sorun olması gerektiği anlamına gelir . FACTORING'in dışında olduğunu varsayarsak $\mathsf{P}$, Peter Shor'ın cevabı FACTORING'in böyle bir sorun olabileceğini öne sürüyor.

dışında durduğu, ancak P- hard olmadığı bilinen herhangi bir (doğal veya yapay) problem var mı? Faktoring varsayımından daha zayıf varsayımlar ne durumda? Bu karmaşıklık sınıfı için bir isim var mı?$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Eğer o zaman seyrek grubu (hatta olmayan bir hesaplanabilir bir) olabilir P - h bir R d .$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$$\mathsf{P\text{-}hard}$

Kavram yanılgısı, karmaşıklık sınıfları (ve hesaplama problemleri) hakkında doğru olmayan bir doğrusal düzen yaratma düşüncesinden gelir. Bir problem için "sertlik" kelimesini kullanmak, sınıftaki diğer problemleri çözmek için de kullanılabilir, yanılgıya katkıda bulunur. Bir problem için bir alt sınır (yani karmaşıklık sınıfında olmamak), problemin sınıf için zor olduğu anlamına gelmez (yani, sınıftaki diğer problemleri çözmek için kullanılabilir). Şu anda kullanımda olan "sertlik" için daha iyi bir alternatif terminoloji olup olmadığını bilmiyorum, önceki yıllarda kullanılmış olan "evrensellik" (IMHO, kavramı daha güvenilir bir şekilde ifade etti ve sonra kullanabilirdik) Sınıfta olmadığı için “sertlik”, fakat yerleşik terminolojiyi değiştirmek çok zor).

Olmadığını bir seti kurmak düşünüyorum değil P bir Ladner tarzı argüman tarafından -Zor. İşte özel bir örnek.$P$$P$

Schöning, "Karmaşıklık Sınıflarında Çapraz Kümelerin Elde Edilmesi İçin Düzgün Bir Yaklaşım" adlı makalesinde, Schöning şunları kanıtlamaktadır:

Teorem , A 2 ∉ C 2 , C 1 ve C 2'nin tekrar tekrar sunulabilecek şekilde karmaşıklık sınıfları olduğunu ve sonlu varyasyonlar altında kapatıldığını varsayalım . Sonra bir grubu bu bir şekilde bir ∉ Cı 1 , bir ∉ Cı 2 ve eğer A $A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$$A \notin C_2$ ve A 2 önemsiz (boş grubu veya tüm şeritler) olmaması şartıyla bir üzere polytime çok-on indirgenebilir A 2 .$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

Bu uygulama için, resim grubu boş kümeden farklı olması, ve bir 2 olduğu D x P -Komple polytime azalmalar altında resim Cı 1 kümesi P olan -Sert setleri D x P , grubu Cı- 2 = P . Boş küme P- hard olamaz ( bir dil için P- hardness tanımı, dilde en az bir örnek olmasını ve bir örnek içinde bulunmamasını gerektirir). Bir 2 de kesinlikle değil C 2 . Cı 1 ve$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$ yukarıdaki koşulları karşıladığı doğrulanabilir ( N P- complete kümeleriiçin Schoening'in yaptığı gibi; aynı zamandabu soruyabakınız). Biz almak Yani A bir değil P içinde -Zor sorun E X P ve bu bir değil P . Çünkü bir 1 ∈ P ve A 2 nontrivial, bir bir indirgenebilir çok-on olan E X- P içinde bulunduğu, böylece -Komple grubu E X- P . Bu nedenle, özellikle,$C_2$$NP$$A$$P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$ sert de olamaz .$P$

Yukarıdaki tartışma olarak, kısıtlama sorunları -Sert D x P özyinelemeli presentability sağlamak için gerekli olan, bir bütün olarak, P-sert sorunlardır, çünkü ardışık takdim ve hatta sayılabilir değil . Şimdi, bunun "doğal" örnekleri farklı bir hikaye ...$P$$EXP$

P dışında olan ancak P zor olmayan problemler üretmenin başka bir yolu da, P ile karşılaştırılamayan sınıflar için tam problemler almaktır. Diyelim ki, X sınıfı, hiçbirinin diğerinin alt kümesi olmadığı anlamında P ile kıyaslanamaz. Daha sonra, X'in tamamlanmış bir problemi mutlaka P dışındadır (aksi takdirde P, X'i içerecektir) ve P-sert değildir (aksi takdirde X, P'yi içerecektir).

P ile kıyaslanamayan bazı sınıfları düşünmeye çalıştım, ancak P oldukça sağlam bir sınıf, bu yüzden çok fazla sınıf yok. Örneğin, RNC ve QNC, P ile karşılaştırılabilir olabilir. DSPACE ( ) ayrıca P ile karşılaştırılabilir olabilir. PolyL, P ile karşılaştırılamaz, ancak logspace indirimleri altında tam problem yaşamaz.$\log^2$