Bir grafik verildiğinde, kenar bağlantısının en az n / 2 olup olmadığına karar verin

Alon ve Spencer'ın Olasılıksal Yöntem kitabının 1. Bölümünde şu problemden bahsediliyor:

Bir grafik verildiğinde , kenar bağlantısının en az n / 2 olup olmadığına karar verin .$G$$n/2$

Yazar varlığını söz Matula göre algoritma ve bunu artırır O ( n, 8 / 3 günlük , n ) .$O(n^3)$$O(n^{8/3}\log n)$

Benim sorum, bu sorun için en iyi bilinen çalışma süresi nedir?

Geliştirilmiş algoritmayı açıklayayım.

İlk olarak, minimum derecesine en az n / 2 olup olmadığına karar verin . Değilse, kenar bağlantısı açıkça n / 2'den daha azdır .$G$$n/2$$n/2$

Bu durumda değilse, sonra, daha sonra bir görünen dizi hesaplamak arasında G büyüklüğü O ( log n ) . Bu süre içinde yapılabilir O ( n, 2 ) bir algoritma kitabın önceki bölümde tarif edilen şekilde.$U$$G$$O(\log n)$$O(n^2)$

Daha sonra, gerçeği kanıtlamak için çok zor olmayan aşağıdakileri kullanır:

Minimum derecede ise en boyuttaki herhangi bir kenar kesim için daha sonra, ö bölme bu V içine V 1 ve V 2 , herhangi bir görünen grubu G hem de köşeler olmalıdır V 1 ve V 2 .$\delta$$\delta$$V$$V_1$$V_2$$G$$V_1$$V_2$

$U = \{u_1, \ldots , u_k\}$$G$$n/2$$n/2$$U$$i\in \{2, k\}$$u_1$$u_i$$O(n^{8/3})$$O(n^{8/3}\log n)$

$n/2$$n/2$$n/2$$X$$\bar X$$x := |X| \leq n/2$$X$$x - 1$$X$$n/2 - (x - 1)$$x (n/2 - x + 1)$$x (n/2 - x + 1) \geq n/2$$(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Garip bir şekilde, bu sonuca bulduğum tek referans bu bir biyoinformatik konferansından. Başka bir yerde kanıtlanmış olup olmadığını gerçekten çok merak ediyorum.

Edit: Daha önceki bir referans: Gary Chartrand: Bir İletişim Sorunu Grafik-Teorik Yaklaşım , SIAM J. Appl. Matematik. 14-4 (1966), sayfa 778-781.