SAT ile ilgili topolojik bir alan: kompakt mı?

Gerçeklenebilirlik sorun, tabii ki, teorik CS temel bir sorundur. Sorunun bir versiyonuyla sonsuz sayıda değişkenle oynuyordum.$\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Temel kurulum. boş olmayan ve muhtemelen sonsuz bir değişkenler kümesi olmasına izin verin . Bir değişmez ya x ∈ X değişkeni ya da ¬ x negatifidir . A madde C bir ayrılmasıdır sonlu değişmezleri sayısı . Son olarak, formül F'yi bir cümlecikler kümesi olarak tanımlıyoruz .$X$$x \in X$$\neg x$$c$$F$

Bir atama bir fonksiyonudur σ : X → { 0 , 1 } . Σ ödevi yerine getirdiğinde durumu açıkça tanımlamayacağım ; biraz hantaldır ve standart SAT'daki ile aynıdır. Son olarak, bir ödev her kurucu maddeyi karşılarsa bir formülü yerine getirir. Let s bir T ( F ) için görev tatmin kümesi F ve izin u , n s bir t ( E ) tamamlayıcısı s bir t$X$$\sigma : X \to \{0,1\}$$\sigma$$\sat(F)$$F$$\unsat(F)$ .$\sat(F)$

Topolojik bir boşluk.

Amacımız tüm atamaların alanını bağışlamak etmektir , diyoruz Σ bir ile, topolojik yapısı . Kapalı setlerimiz s a t ( F ) biçimindedir ve burada F$X$$\Sigma$$\sat(F)$$F$ bir formül . Bunun gerçekten bir topoloji olduğunu doğrulayabiliriz:

• içermeyen boş formül all tüm ödevler tarafından yerine getirilir; yani$\emptyset$ kapalıdır.$\Sigma$
• Herhangi bir x ∈ X için formülü bir çelişkidir. Yani$\{ x, \neg x \}$$x \in X$ kapalıdır.$\emptyset$
• Keyfi kavşak altında kapanma. Diyelim ki her i ∈ I için bir formüldür . Daha sonra s bir t ( ⋃ i ∈ I F i ) = ⋂ I ∈ I s bir t ( F $F_{i}$$i \in I$ .$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
• Sonlu birlik altında kapatma. ve G'nin iki formül olduğunu varsayalım ve F ∨ G'yi tanımlayın : = $F$$G$ Sonra s a t ( F ∨ G ) = s a t ( F ) ∪ s a t ( G ) .Bir argümana ihtiyaç duyuyor, ama bunu atlayacağım. $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

Bu topoloji Çağrı üzerinde, "Satisfiability topoloji" (!) Σ . Tabii ki, bu topolojinin açık kümeleri u n s a t ( F ) biçimindedir . Ayrıca, açık kümelerin toplanmasının { u n s a t ( c $\mathcal T$$\Sigma$$\unsat(F)$T için bir temel oluşturur. (Egzersiz yapmak!)

Kompakt? Bunun çok faydalı olmasa da olaylara bakmak için ilginç bir yol olduğunu hissediyorum. Bu topolojik alanın kompaktlık, bağlılık vb. Geleneksel ilginç özelliklere sahip olup olmadığını anlamak istiyorum. Bu yazıda kendimizi kompaktlık ile sınırlayacağız:

sayılabilecek sınırsız değişken koleksiyonu olmasına izin verin . ¹ Is Σ altında kompakt T ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

Aşağıdaki kanıtlanabilir

Önerme. ve ancak bütün edilemezdir formüller için ise kompakt F , sonlu edilemezdir altformülü vardır { Cı- 1 , c 2 , ... , c m } ⊆ F .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Çok zor bir egzersiz!) Birkaç gün düşündükten sonra, bu soruyu cevaplama konusunda fazla ilerleme kaydedemiyorum. Ayrıca, kompaktlık için veya buna karşı güçlü bir kanıtım yok. Biraz yaklaşım önerebilir misiniz?

Son olarak, bonus soru olarak:

Böyle bir yapı daha önce incelendi mi?

¹ Sayılabilir kısıtlaması sadece basitlik içindir; sonlu sayıda değişkenin bir sonraki doğal adımı gibi geliyor.$X$

Yaptığınız şey bir Boole cebirinin topolojik temsilini türetmektir. Boole cebirlerinin temsili çalışmaları en azından Lindenbaum ve Tarski'ye kadar uzanır (sanırım 1925'te), atomik Boole cebirlerinin güç kümeleri için izomorfik olduğunu kanıtladı.

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Stone'un Boole Cebirleri İçin Temsil Teoremi Her Boole cebri, bir topolojik uzayın klon alt kümelerinin kafesiyle izomorfiktir.

$\mathit{true}$

Boole cebirinin Taş boşluğu kompakt, tamamen bağlantısı kesilmiş Hausdorff boşluğudur.

Stone'un temsilini çeşitli yönlerde genişleten ve genelleştiren çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Doğal bir soru, diğer kafes ailelerinin böyle temsillere sahip olup olmadığını sormaktır. Stone'un sonuçları dağıtım kafesleri için de geçerlidir. Keyfi kafesler için topolojik temsiller 1978 yılında Alasdair Urquhart tarafından verilmiştir. Dağıtıcı kafesler Boole cebirlerine kıyasla yapıda daha fazla çeşitliliğe sahiptir ve büyük ilgi görmektedir. 1970 yılında Hilary Priestley tarafından düzenli bir topolojik alan fikri kullanılarak dağıtım davası için farklı bir temsil verildi . Set tabanlı temsiller yerine, poset tabanlı temsiller ve topolojiler bulabiliriz.

Bu belgelerdeki yapıların dikkat çekici bir özelliği vardır. Stone'un inşaatı sadece Boolean cebirlerini topolojik uzaylarla eşlemez: Boolean cebirleriyle ilgili yapısal ilişkiler, ortaya çıkan topolojiler arasındaki yapısal özelliklere dönüşür. Kategoriler arasında bir ikiliktir. Bu tür sonuçların tüm gamına Stone Dualite denir . Gayri resmi olarak, ikilikler bize matematiksel evrenler arasında kesin çeviriler verir: kümelerin kombinatoryal dünyası, kafeslerin cebirsel dünyası, topolojinin uzamsal dünyası ve mantığın tümdengelimli dünyası. İşte size yardımcı olabilecek birkaç başlangıç ​​noktası.

1. Davey ve Priestley tarafından Örgü ve Düzene Giriş Bölüm 11, Stone teoremini kapsar.
2. Matthew Gwynne'nin slaytları teoremi kapsar ve bir kompaktlık kanıtı verir. Matthew (yorumlarda) ayrıca Paul Halmos tarafından Boole Cebirlerine Giriş önermektedir .
3. Önerme mantığından modal mantığa geçerken, Boole cebri bir birleştirme koruyucu operatör ve bir iç mekan ile topoloji ile genişletilir. Jónsson ve Tarski'nin 1952 tarihli Operatörlü Boole Cebirleri son derece okunabilir ve modern gösterimle tutarlıdır.
4. Blackburn, de Rijke ve Venema tarafından hazırlanan Modal Mantık'ın 5. Bölümü , Stone teoremini ve operatörlerle Boole cebirlerine genişlemesini kapsar.
5. Stone Spaces by Peter Johnstone, diğer çeşitli cebir türleri için bu tür sonuçları gözden geçirmektedir.