Minimum Uyumsuz 3-CNF Formülleri

Şu anda tatmin edici olmayan ve minimum büyüklükte 3-CNF formüllerini elde etmek (veya oluşturmak) ve çalışmakla ilgileniyorum. Yani, mümkün olduğunca az cümle (tercihen m = 8) ve en az bir cümlenin kaldırılması formülü tatmin edici kılacak şekilde mümkün olduğunca az farklı değişken (n = 4 veya daha fazla) içermelidir.

Daha resmi olarak, herhangi bir uygun 3-CNF formülü F aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

F tatmin edici değil
F'nin minimum miktarda (4+) farklı değişkeni vardır (veya bunların negatifliği)
F, minimum miktarda cümle içerir (8+)
F'nin her uygun alt kümesi tatmin edilebilirdir (herhangi bir keyfi madde veya maddenin kaldırılmasına izin verir).
F, 2-CNF yantümcesine indirgenebilen 2 yantümceye sahip değildir, örneğin (i, j, k) & (i, j, ~k)izin verilmez ( azalırlar (i,j))

Örneğin, n = 4 ile, tatmin edici olmayan birçok minimal 8-cümlecik 3-CNF formülü vardır. Birincisi, 4 hiper küpü inceleyerek ve kenarlarla (2 yüz) örtmeye çalışarak, aşağıdaki tatmin edilemez formülü oluşturabilir:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

Bu, minimum tatmin edici olmayan 3-CNF formülü olarak nitelendirilir çünkü:

Bu tatmin edilemez:
- 1-3. Maddeler şuna eşittir: D or A=B=C
- 4-6. Maddeler şuna karşılık gelir: ~D or A=B=C
- İfade ediyorlar A=B=C, ancak 7. ve 8. maddeler ile bu bir çelişki.
Sadece 4 farklı değişken vardır.
Sadece 8 cümle vardır.
Herhangi bir hükmün kaldırılması onu tatmin edici hale getirir.
2 cümlesinin hiçbiri 2-CNF cümlesine 'indirgenemez'.

Sanırım burada genel sorularım benim için önem sırasına göre:

Yukarıdaki koşulları karşılayan diğer küçük minimum formüller nelerdir? (örneğin 4,5,6 değişken ve 8,9,10 yan tümcesi)
Bu tür minimum formüllerin bir çeşit veritabanı veya "atlası" var mı?
Varsa, bunları doğrudan oluşturmak için hangi rasgele olmayan algoritmalar var?
Bu formülün özellikleri hakkında bazı bilgiler nelerdir? N (# değişken) ve m (# cümle) verildiğinde sayılabilir veya tahmin edilebilir mi?

Cevaplarınız için şimdiden teşekkür ederiz. Ben herhangi bir cevap ya da yorum hoş geldiniz.

cc.complexity-theory sat

— MAF
kaynak

Her 3-CNF yantümcesi olası çözümlerin 1 / 8'ine izin vermez. Bu nedenle açıkça, izin verilmeyen çözüm kümeleri çakışıyorsa, her zaman en az 8 maddeye veya daha fazlasına ihtiyacınız vardır. Koşul 5'iniz n = 3 için örtüşmeyen izin verilmeyen çözüm kümelerini yasakladığından, bu dava için 8'den fazla maddeye ihtiyacınız var: örneğinizin koşul 5'e uymadığını unutmayın.

— András Salamon

Evet, her noktada haklısın. 8 cümle, tatmin edilemez bir 3-CNF formülü için gerekli bir minimumdur ve bu nedenle koşul 5, niteleyici formülleri bulma / oluşturma amacım için çok kısıtlayıcı olabilir. N = 3 için şart 5'in mutlaka ihlal edilmesi gerektiğini, ancak yalnızca açıklama amacıyla dahil edildiğinin farkındayım. N = 4 + boyutundaki niteleyici formüllerle kesinlikle ilgileniyorum (yani 4 veya daha fazla değişken, ancak çok daha fazla değil.). Belki de 5. koşulu

— çizeceğim

Sanırım n = 3 olan “örneğiniz” açıklayıcı olmaktan ziyade kafa karıştırıcıdır, çünkü (András'ın yorumunda da belirtildiği gibi) bu gerçekten bu soruda sorduğunuz şeyin bir örneği değildir. N = 4 ile örnek mükemmel şekilde iyi ve açıklayıcıdır. Neden sadece n = 3 ile örneği kaldırmıyorsunuz?

— Tsuyoshi Ito

İyi bir nokta, Tsuyoshi. Bitti.

— MAF

@MAF: önemsiz bir örnekte koşul 5 sonuç çıkarmadan: maddelerini içeren edilemezdir örneği ile başlar ve , daha sonra her bir maddesi yerine , iki maddeleri ile ve yeni bir değişken için ve tüm yan tümcelerin 3 değişmez değeri olana kadar devam edin. Bu, 8 maddeye sahip 7 değişken tatmin edici olmayan bir formül verir. Bu sadece çözüm alanını 8 ayrık parçaya ayırıyor, ki bu genellikle ilginç bir kod değil.

{x}

$\{x\}$

{x^{'}}

$\{x'\}$

C

$C$

C \cup {v}

$C \cup \{v\}$

C \cup {v^{'}}

$C \cup \{v'\}$

v

$v$

— András Salamon

Yanıtlar:

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$ $2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$ $m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$ $2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$ $n$ $m$ $1$ $r=\frac{m}{n}$ $1$ $n$ $r=1$

— Giorgio Camerani
kaynak

Cevabınız için teşekkürler, Walter. Açıkladığınız prosedür gerçekten de 'benzer' yapının daha da biraz daha büyük min doymamış formülleri üretmek için çok yararlıdır, yani ilginç özelliklere sahip bulduğunuz bir çekirdek setiniz olduğunda.

— MAF

@MAF: Çok hoş geldiniz. Böyle ilginç bir soru gönderdiğiniz için teşekkür ederiz.

— Giorgio Camerani

5 numaralı koşulun gerçekten örneğinizde bulunmadığına ve hiçbir zaman yapılamayacağına inanıyorum.
Aşağıdaki tümcecikler eşdeğer olsun:

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

Bu, A, B, C ve D maddelerini aşağıdaki doğruluk tablosu olarak yeni p, q, r ve s değişkenleriyle eşleştirmemizi sağlayacaktır:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

Ve şimdi A, B, C ve D maddelerini p, q, r ve s cinsinden ifade edebiliriz:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

Tüm yan maddeler gösterildiğinden ve bir A, B, C ve D yan tümcesi ile ilişkili olduğundan. Sonra p, q, r ve s yan tümcelerinin aşağıdakilere indirgenebileceğini iddia edebiliriz:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

Bu açıkça 5 numaralı durumu ihlal ediyor. Belirtmek

istediğim, örnek bile açıkça 2-CNF'ye düşürülebilen, ancak örtük olarak 2 cümle olduğunu göstermektedir (örn. (~ A, B, D) ve (A, ~ B, ~ D)), 2-CNF'yi verilen değişkenlerle ifade edemeyebilirsiniz, ancak problem için farklı haritalama eklediğinizde bunları ifade edebileceksiniz.

— Khazam Alhamdan
kaynak