Belirli sorgu türleri için optimum önişleme

öğelerine sahip bir yarı olduğunu varsayalım . Hedefimiz . $(S,\circ)$ $S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$ $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

“On-line ürün sorgularını yanıtlamak için Optimal Önişleme” Alon ve Schieber, bu tür her bir sorguyu en çok adımda (burada ters Ackermann işlevidir) cevaplayabileceğimizi kanıtlamaktadır. doğrusal önişleme miktarı. $O(\alpha(n))$ $\alpha$

Her bir adımlarında yanıtlanabilmesi , bunu yine de yalnızca doğrusal önişleme ile yapabilir misiniz? $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$ $O(\log(j-i))$

(Bu soru, Mathoverflow'daki Brendan McKay tarafından bu son sorudan esinlenmiştir.)

cc.complexity-theory graph-theory ds.data-structures

— Gjergji Zaimi
kaynak

MO sorusuna bir bağlantı ekleyebilir misiniz?

— Suresh Venkat

Gruptan ziyade yarıgrup olmasının bir nedeni var mı?

— Huck Bennett

@Huck: Bir grupsa, Noam'ın yukarıdaki bağlantıdaki yapısı böyle bir algoritma verir.

— Gjergji Zaimi

Yapraklarda (sırasıyla) ile sıralı dengeli bir ikili ağaç oluşturun . Her bir iç düğüm olarak kökü alt ağaç yaprakları ve saklayın . Bu ön işlem açıkça O zaman ve mekanda gerçekleşir. $s_1,\dots,s_n$ $v$ $v$ $(n)$

Şimdi, bir ürün hesaplamak için (burada ) den ağaca yürümek en küçük ortak atası (LCA) için ve . LCA'nın doğru çocuğu hariç, yoldan sarkan her bir sağ çocukta depolanan ürünleri toplayın. Başka bir deyişle, yukarı giderken üst etmek eğer bir sol çocuğudur , daha sonra saklanan ürünü almak haklı çocuk'. Benzer şekilde, yürüyün $s_i\circ\ldots\circ s_j$ $i<j$ $i$ $i$ $j$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ $j$ LCA'ya götürün ve o yoldan sarkan sol çocuklarda saklanan ürünleri toplayın. Tüm bu ürünleri ve birlikte sırayla çarpın . $s_i$ $s_j$

— Ari
kaynak