Set birleşimini kullanarak konsensüs kümeleme

Bu soruyu bir süre önce MathOverflow'a zaten göndermiştim , ancak bildiğim kadarıyla hala açık, bu yüzden burada birisinin duymuş olabileceği umuduyla burada yeniden gönderiyorum.

Sorun bildirimi

Let , ve içine üç bölüm olmak boş olmayan parça (ile gösterilmiş 'in, ' in ve kümesinin { 'ler) }. İki permütasyon Bul ve en aza indirgemeyeQ R p P h Q i R j 1 , 2 , … , n π σ p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

Sorular

1) Bu problemin (veya ilgili karar probleminin) karmaşıklığı nedir?

2) Eğer problem polinom zamanında çözülebiliyorsa, herhangi bir sayıdaki sayısı için doğru mu?$k\geq 4$

Önceki iş

Berman, DasGupta, Kao ve Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) bölümleri için benzer bir problem çalışmakta , fakat yukarıdaki yerine çift 'lar kullanılıyor toplamı. Kübik grafiklerdeki MAX-CUT değerini, problemlerinin özel bir durumuna indirgeyerek, her bir parça yalnızca iki elemente sahip olsa bile, için sorunun MAX-SNP-zor olduğunu kanıtladılar ve Herhangi bir . Şimdiye kadar, sorunumu literatürde bulamadım veya kanıtlarını uyarlayamadım.Δ ∪ k = 3 ( 2 - 2 / k ) $k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

Kolay alt kasalar

Polinom zamanında çözülebilir bulduğum bazı alt pencereler:

• durum ;$k=2$
• herhangi bir için durum ;$p=2$$k$

Dahası, olduğunda , hiçbir iki parça eşit değildir ve tüm parçaların boyutu , alt sınır sahibiz (sıkı olup olmadığını bilmiyorum).2 3 p + $k=3$$2$$3p+1$

Sorun NP-zor. Kanıt, aşağıdaki sorundan kaynaklanmaktadır:

Üçlü grafiktir verilen ile , N , her kısmında köşe bulunmaktadır , N , tepenin-ayrık üçgenler G ?$G$$N$$N$$G$

Burada indirgeme verilmiştir: bir örneği verilen Yukarıdaki sorun, izin bir 1 , A 2 , A 3 her kısmında ifade eder köşelerin grubu G ve E ı j arasında kenarların olması grubu A ı ve bir j . Ayrıca, her bölümdeki köşeleri 1 , … , N ile numaralandırın .$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

Sorununuzun bir örneğini , burada M çok sayıdadır ( M = 10 | E ( G ) | ) ve p = N + 1 . İlk | E ( G ) | { 1 , … , n } elemanları G'nin kenarlarına karşılık gelir . P bölümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$ için i = 1 , ... , N olan kenarların setidir i inci tepe A 1 uç noktaları olarak. Açıkçası bu kümeler birbirinden ayrı ve birliktelikleri E 1 , 2 ∪ E 1 , 3 . P N + 1 başka bir şey değil, yani E 2 , 3 ∪ { | E ( G ) | + 1 , … , | $P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$ . Benzer şekilde, tanımlar S kullanılarak bir 2 yerine A 1 ve R ' ile bir 3 yerine A 1 .$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

Şimdi, iddia ediyoruz ki bu örnek en fazla ancak ve ancak G vardır , N ayrık üçgenler. Bunu görmek için, ilk önce M'nin büyük olduğu için, 2 M'den daha az maliyetli olan herhangi bir çözümün P N + 1 ile Q N + 1 ve R N + 1'i eşlemesi gerektiğini unutmayın . Bu zaten | E ( G ) $3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$Toplam maliyetin + M , yani 2 | E ( G ) | - 3 N . Şimdi, not her kesişme bu P i ve her Q, j en az bir (ve aynı şekilde içindir P ı ve R ' k ve ayrıca için Q, j ve R k ). Böylece, eğer tüm bu kesişmeler aynı anda 1 olabilirse, amaç işlevi en aza indirilir. Bu, G'deki N ayrık üçgenlerinekarşılık gelir.$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$