P-tam dillerin yoğunluğu

Diyelim ki , bir Boole dilidir, üzerinde sonlu dizeler . , uzunluğunda olan dizelerin sayısı olsun . Bir işlev için, pozitif reel sayı pozitif tamsayılar arasından, olan üst yoğunluk ise her yeterince büyük için . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Herhangi bir P-complete Boole dilinin üst yoğunluğu mı? $O(1/n)$

Motivasyon

PARİT, üst yoğunluğun 2'sine sahiptir . EVET (tüm sonlu ikili dizgilerin dili) üst yoğunluğa 1 sahiptir. Herhangi bir sonlu dilin üst yoğunluğu 0'dır. $1/2$
Seyrek dil bir polinom olduğu özelliğine sahip bu şekilde tüm . Eğer bir seyrek dil, daha sonra bir polinom için daha derecesi bir fazla bir üst yoğunluk, yani , sıfırdır. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai ve D. Sivakumar , P = L (= LOGSPACE) olmadığı sürece P tam bir dilin seyrek olamayacağını gösterdiler. P = co-P olduğundan, tamamlayıcısının seyrek olduğu herhangi bir dil P = L olmadığı sürece de P-tam olamaz.
Basit bir eşitsizlikle (bkz. Örneğin Rosser ve Schoenfeld 1962'nin Corollary 2 ), PRIMES üst yoğunluğa $(\log_2 e)/n$ . Soru PRIMES, FACTORING problemlerinin P-zor olduğu biliniyor mu? PRIMES'in P-hard olup olmadığını tartışır (bu şu anda açık gibi görünmektedir).
Bir anlamda, bir karmaşıklık sınıfının tam (veya evrensel) dilleri, sınıfın tüm yapısını içerir. Bu yüzden, Cai ve Sivakumar'ın sonucunun vahşi bir ekstrapolasyonuna dayanan geçici hipotezim, bu tür diller çok seyrek olamaz. Seyrek dilleri tanımlayan her zamanki polinom sınırı çok kısıtlayıcı görünüyor, bu yüzden biraz daha az kısıtlayıcı olan bir sınır soruyorum.

Fortnow, Hemaspaandra ve diğerlerinin alçaklık çalışmaları da büyük olasılıkla ilişkilidir.

Soru P dışındaki sınıflardan sorulabilir, ancak -SAT yoğunluğunun oluşturulmasına izin verecek herhangi bir sonucu hatırlayamıyorum . İlgili literatüre işaret etmek en memnuniyet verici olanıdır. $k$

Teşekkür

Aynı zamanda ilgili soruya bakınız Primerlerin koşullu yoğunluğu . @Tsuyoshi Ito ve @Kaveh'e, ne yazık ki kötü pozlanmış olan bu sorunun daha önceki bir sürümü hakkındaki yararlı yorumlar için teşekkürler.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
kaynak

Ben (ya da başka bir polinom fraksiyonu) çok fazla dizeleri olduğunu düşünüyorum, daha iyi soru üst ve alt sınırları hakkında sormaktır.

2^{n} / n

$2^n/n$

— Kaveh

Ortak P-tamamlama problemlerinin yoğunluğunun ne olduğunu bilmiyorum, ancak burada altındaki herhangi bir yoğunluğun nasıl azaltılacağını gösteren bir dolgu argümanı var : $1/n$

En sevdiğiniz P-tamamlama dilini . Bu dilin yoğunluğu . Şimdi . Genel olarak, , işlevi olacaktır , bu nedenle bu , tüm boyutlar için tanımlamayabilir , çünkü yalnızca üst yoğunluktan endişe , ise . nin üst yoğunluğu nedir ? Bizde var $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

Şimdi bir makine oluşturmak için kullanılması LOG-azalmalar sağlayan için bir makine kullanarak için . Eğer bir girişi verilirse , sorgu bandına her seferinde bir bit kopyalayın (ayrıca ne olduğunu saymak için bir sayaç kullanın ), sonra kadar saymak için ikinci bir sayaç kullanın , sorgu bandına sıfır eklediğinizde (günlük alanı olması için, ihtiyacımız vardır ve kolayca hesaplanabilir). Daha sonra sorgulayın ve çıktıyı cevabınız olarak döndürün. $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

daha küçük olduğumuzdan emin olmak istiyorsak, sadece ve sonra . $1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
kaynak

Teşekkürler, bu soruya cevap veriyor. Bu argüman ile polinom olarak ilişkili olduğuna güveniyor gibi görünüyor - üst yoğunluk elde edilebilir mi?

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

— András Salamon

Sanırım sadece m = log log n 'ye ihtiyacınız olacak. Genel olarak m = f (n) için, LOG-uzayında olan herhangi bir f'yi seçebilirsiniz (n, tekli olarak). (veya bu indirimleri tercih ediyorsanız NC).

— Artem Kaznatcheev