Normal gramer tarafından kabul edilen kelimeleri sayma

Düzenli bir dil verildiğinde (NFA, DFA, dilbilgisi veya regex), belirli bir dilde sözcükleri kabul etme sayısı nasıl sayılabilir? Hem "tam olarak n harfi ile" hem de "en fazla n harfi ile" her ikisi de ilgi çekicidir.

Margareta Ackerman'ın , bir NFA tarafından kabul edilen kelimelerin sıralanmasıyla ilgili iki makalesi var, ancak onları etkin şekilde saymaları için değiştiremedim.

Düzenli dillerin kısıtlı doğası onları saymayı nispeten kolay hale getirmeli gibi görünüyor - Neredeyse bir algoritmadan daha fazla formül bekliyorum Ne yazık ki şu ana kadar yaptığım aramalar hiçbir şey bulmadı, bu yüzden yanlış terimler kullanmalıyım.

İlk durum durum olduğu bir DFA için, , uzunluğu kelime sayısı k duruma girer i olan bir K [ 0 , ı ] , bir DFA transfer matrisi (bir matris olduğu i satırındaki sayı ve j sütunu , i durumundan j ) durumuna geçişe neden olan farklı giriş sembollerinin sayısıdır . Böylece , k kelimesi bile, k kelimesini kolaylıkla kabul edebilir.$0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$ sadece bir matris gücü hesaplayarak ve kabul eden durumlara karşılık gelen girişleri ekleyerek orta derecede büyüktür.

Aynı şey , biraz farklı bir matrisle, en uzun sözcükleri kabul etmek için de geçerlidir . Hücrede hem satırda hem de sütunda bir tane, yeni satırda bir tane ve ilk durumun sütununda bir tane ve diğer tüm hücrelerde bir sıfır olacak şekilde matrisin fazladan bir satırını ve sütununu ekleyin. Bu değişikliğin matrise etkisi, her bir güçte başlangıç ​​durumuna bir yol daha eklemektir.$k$

Bu NFA'lar için işe yaramıyor. Yapılacak en iyi şey sadece bir DFA'ya dönüştürmek ve ardından matris güçlendirme algoritmasını uygulamaktan şüpheleniyorum.

Let durumu başlangıç ile (nondeterministic) sonlu otomasyon olarak q 1 , Q, K ⊆ S ve δ ⊆ S x Σ x S .$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

Let başlangıç kabul edilebilir tüm kelimeler için üretici fonksiyon q i olduğu, n, kendi seri genleşme inci katsayısı [ z n ] S i = | { w ∣ | w | = N ∧ ağırlık  kabul  q i } | .$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

Açıkça:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

Elde edilen (lineer) denklem sistemini için çözün (Mathematica veya benzeri bir araç kullanarak). Daha sonra, [ z , n ] S 1 arzu edilen miktardır.$Q_1$$[z^n]Q_1$

Bu, Chomsky ve Schützenberger (1963) tarafından gramerler için tanıtılan bir tekniğe dayanmaktadır; sonlu otomatlara kolayca aktarılır.

Düzenleme: Eğer -transitions hesap , sadece ilgili geçiş için toplamda x faktörü bırakın . Eğer kenarları, yani yerine sembolü "sıkıştırılmış" varsa similiarly, bir ∈ Σ bir kelime w ∈ Σ k bir geçiş üzerinde, yerine x ile x k .$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

Bunun zor bir sayım problemi olduğunu düşünüyorum, bu makaleye bakın: Verilen uzunluktaki normal dizilerin boyutunu saymak # P-tamamlandı: S. Kannan, Z. Sweedyk ve SR Mahaney. Normal dillerde dize sayma ve rastgele nesil. ACM-SIAM Ayrık Algoritmalar Sempozyumu'nda (SODA), sayfa 551-557, 1995.

Aşağıdaki: CMTV , karmaşıklık sınıfı dikkate (ama biraz daha genel bir ortamda, esasen) belirli bir uzunlukta bir giriş kelime nondeterministic sonlu otomatın kabul hesaplamaların sayısını sayma fonksiyonları sınıfıdır. Birçok sonuçlar artık bir sonucu olarak deterministik logspace içinde çevreleme dahil bu karmaşıklık sınıfı hakkında bilinmektedir CDL . Otomatın bu ayarda sabit olduğuna ve giriş kelimesinin tek giriş olduğuna dikkat edin.$\#\mathsf{NC}^1$