Polinom formül büyüklüğünü en aza indirgeme karmaşıklığı

Let bir ölçüde olmak d polinom içinde n değişkenleri üzerinde F 2 , d sabittir (2 veya 3) söylüyor. I küçük formül bulmak istiyoruz f ( "formül" ve "Formül boyutu" açık bir şekilde tanımlanmış olup, örneğin. Polinom için en küçük Formül x 1 x 2 + x 1 x 3 olan x 1 ( x 2 + x 3 ) ).$f(x_1,\dots,x_n)$$d$$n$$\mathbb{F}_2$$d$$f$$x_1 x_2 + x_1 x_3$$x_1(x_2+x_3)$

Bu sorunun karmaşıklığı nedir - NP zor mu? Karmaşıklık bağlı mı ?$d$

[Daha resmi olarak, bir formül (aka "aritmetik formül"), her biri yaprakları bir giriş değişkeni veya sabit 1 ile etiketlenmiş köklü bir ikili ağaçtır. Ağacın diğer tüm köşeleri veya × ile etiketlenir . Formülün boyutu kullanılan yaprakların sayısıdır. Formül yinelemeli bir polinom hesaplar: + köşeler üzerindeki çocuk toplamını hesaplamak F 2 , x köşe ürün hesaplamak. ]$+$$\times$$+$$\mathbb{F}_2$$\times$

Yardımcı NP-Tamamlanmış TAUTOLOGY problemini (bir Boolean formülü verildiğinde, bir totoloji mi?) Formül ebadını küçültme problemini azaltabilirsiniz (çünkü bir formül TRUE'ya eşitse bir totolojidir). Dahası, 3DNF'ler için TAUTOLOGY (3CNF'ler için SAT'a benzer şekilde) ko-NP-Tamamlandı.

Tam olarak değil cevabı değil, umarım yardımcı olur:

$n$$\sum a_{ij}x_iy_j$$F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

$3$$n$

Buna verilen herhangi bir cevap, büyük ölçüde , cevapta izin verdiğiniz kelimelere bağlıdır . Cevabınızı girişle aynı dilde (örneğin bir polinom olarak) istiyorsanız, bu, diğer posterlerin mücadele ettiği bir cevap grubuna yol açar.

Ancak , cevabınızın kelime haznesinin genişlemesine izin verirseniz , harika şeyler olabilir. Sembolik ve otomatik farklılaşmanın bir örneğini görebilirsiniz: sembolik farklılaşmada yalnızca bir tanesi 'aşırı derecede patlayan' ifadelere izin verilir; otomatik farklılaştırmada, kişi ifadenin şişmesini kontrol etmesine büyük ölçüde yardımcı olan cevapta (giriş bir ifade olsa bile) düz çizgi programlara izin verir . Tek değişkenli polinomlar için, James Davenport ve ben çok çalıştık temel kelime bilginizin bir parçası olarak siklotomik polinomları atmanız gerektiği (polinom problemleri arasında çeşitli indirgenebilirlik sonuçları gösteren makalelerin yanı sıra, bu polinomların neden tek gerçek patlama kaynağı gibi göründüğü ile ilgili referanslara bakın). ve 3SAT).

Başka bir deyişle, bir cevap olarak düşündüğünüz şeyi klasik olandan biraz daha fazla değiştirmenize izin verirseniz, oldukça farklı bir cevap, yani daha iyi bir karmaşıklığa sahip olabilirsiniz. Kelime bilgisindeki bu değişimin sizin için uygun olup olmadığına karar vermek, tamamen teorik veya akılda bir uygulama ile, soruyu sorma konusundaki orijinal motivasyonunuza bağlıdır. James'le benim bunu düşündüğümüz ortamda (sembolik hesaplama), karmaşıklığı düşürmek için kullanılan kelime haznesini ayarlamak (kabul edilse de) tamamen kabul edilebilir.

Genel devre / formül küçültme, kimlik testinden kesinlikle daha zordur, çünkü herhangi bir kimliğin minimum formül büyüklüğü yalnızca sıfırdır. Ne kadar zor olursa, kesin bir cevabım yok ama belki de aritmetik devrelerde / formüllerde çalışılan "yeniden yapılandırma algoritmaları" bu satırlar boyunca bir şeyler olabilir.

$\mathcal{C}$$3$$\mathcal{C}$

$d$

$d=2$$x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$