Lambda hesabında

Sanırım anlamadım, ama -conversion bana hiçbir şey yapmayan bir -conversion, sonucun sadece lambda soyutlamasındaki terim olduğu özel bir -version gibi görünüyor çünkü hiçbir şey yok bir nevi anlamsız dönüşüm.$\eta$$\beta$$\beta$$\beta$

Yani belki dönüşüm gerçekten derin ve farklı bir şeydir, ama eğer öyleyse, anlamıyorum ve umarım bana yardımcı olabilirsiniz.$\eta$

(Teşekkürler ve özür dilerim, bunun lambda hesabındaki temel bilgilerin bir parçası olduğunu biliyorum)

Güncelleme [2011-09-20]: $\eta$ genişleme ve genişletilebilirlik hakkındaki paragrafı genişlettim. İyi bir referansa işaret ettiği için Anton Salikhmetov'a teşekkürler.

$\eta$ -dönüşüm$(\lambda x . f x) = f$ özel bir$\beta$ - dönüşümörneğidir,yalnızcaözel durumda$f$ bir soyutlama olduğunda, örneğin$f = \lambda y . y y$ sonra

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ Peki ya$f$ bir değişkendir ya da bir soyutlamaya indirgenmeyen bir uygulama ise?

Bir şekilde $\eta$ kuralı özel bir uzatma türü gibidir, ancak bunun nasıl ifade edildiği konusunda biraz dikkatli olmalıyız. Yaygınlığı şöyle ifade edebiliriz:

1. tüm $\lambda$ -terms $M$ ve $N$ , eğer $M x = N x$ sonra $M = N$ ya da
2. tüm ∀ x ise g . f x = g x sonra f = g .$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

Birincisi, hesabının şartları hakkında bir meta ifadedir. İçinde x resmi bir değişken olarak görünür, yani λ- hesabının bir parçasıdır. Bu ispat edilebilir p r | , -rules içinde teoremi 2.1.29 bakınız örneğin "Lambda hesap: kendi sentaks ve semantik" Barendregt (1985) tarafından. Tüm tanımlanabilir fonksiyonlar hakkında, yani λ -term ifadeleri olan bir ifade olarak anlaşılabilir.$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

İkinci ifade, matematikçilerin genellikle matematiksel ifadeleri nasıl anladıklarıdır. Teorisi -calculus yapıların belli bir tür açıklar, bize "diyelim λ -modelleri ". Bir λ- modeli sayılamaz olabilir, bu yüzden her öğesinin bir λ -term'e karşılık geldiğine dair bir garanti yoktur (tıpkı gerçekleri tanımlayan ifadelerden daha fazla gerçek sayı olduğu gibi). Sonra uzama gücü diyor ki: bir λ modelinde f ve g iki şey alırsak , modeldeki tüm x için f x = g x ise, o zaman f = $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$. Şimdi model, kuralını karşılasa bile , bu anlamda uzamayı tatmin etmesine gerek yoktur. (Burada referans gerekiyordu ve bence eşitliğin nasıl yorumlandığına dikkat etmeliyiz.)$\eta$

Çeşitli yolları vardır ki elimizden motive - ve η -conversions. Λ- hesabı olarak gizlenen kategori-teorik olanı rastgele seçeceğim ve bir başkası başka nedenleri açıklayabilir.$\beta$$\eta$$\lambda$

Yazılan hesabını düşünelim (çünkü daha az kafa karıştırıcıdır, ancak az çok λ- hesabı için aynı akıl yürütme çalışır ). Should tutan temel yasalardan biri üstel yasasıdır C A × B ≅ ( C B ) A . ( A → B ve B A notasyonlarını dönüşümlü olarak kullanıyorum, hangisi daha iyi görünüyorsa onu seçiyorum.) İzomorfizmler i : C A × B → ( C B ) A ve j $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$ λ- hesabındayazılmış gibimi görünüyor? Muhtemelen i = λ f : C A × B olurdu . λ bir : bir . λ b : B . f ⟨ bir , b ⟩ ve j = λ g : ( Cı- B ) bir . λ p : A × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ Bir çift kısa bir hesaplama β -reductions dahil ( β -reductions π 1 ⟨ bir , b ⟩ = bir ve π 2 ⟨ bir , b ⟩ = b ürünler için), her için, bize söyler g : ( Cı- B ) bir Elimizdeki i ( j g ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ Yana ben ve j birbirinin tersidir, biz bekliyoruz i ( j gr ) = g , ama aslında biz kullanmaya gerek bu kanıtlamak η : Düşürülmesi iki kez i ( j gr ) = ( λ bir : Bir . Λ b : B . g bir b ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ Bu η azaltmalarınınbir nedenidir. Alıştırma: j ( i f ) = f olduğunu göstermek içinhangi η- kuralına ihtiyaç vardır? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Bu soruyu cevaplamak için karşılık gelen “Lambda Calculus” monografından aşağıdaki alıntıyı sağlayabiliriz. Sözdizimi ve Anlambilimi “(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Kanıtı aşağıdaki teoremi temel alır.]

$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

HP-complete [Hilbert – Post sonrası] teorileri, birinci dereceden mantık için model teorisindeki maksimum tutarlı teorilere karşılık gelir.

$\lambda$$\beta$$\eta$

• İse uygun , örneğin iki terim olduğu anlamda ve $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• $\iota$
  

  1. Uyum ile kapatılır: $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. Bu 2 denk olmayan eşdeğer koşullar$\beta\eta$ olan normal formlar : vardır ve u , normal formunda bu tür$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

Bu Böhm teoreminin bir sonucudur.

$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$