Dengeli vektörlerin hızlı kodlanması

Herhangi bir için {0,1} ila {0,1} arasında 1-1 eşlemesi olduğunu görmek kolaydır, böylece herhangi bir için vektörü "dengeli" dir, yani eşit sayıda 1 ve 0'dır. Böyle bir tanımlamak mümkün mü, böylece verildiğinde etkili bir şekilde hesaplayabiliyoruz ? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

Teşekkürler.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
kaynak

'Verimli' ile O (n) ya da etrafındaki anlamına geldiğini, "tekrarlanan rastgele denemeler" argümanını dışladığınızı varsayıyorum?

— Suresh Venkat

@Suresh, "Tekrarlanan rastgele denemeler" argümanını çizebilir misiniz?

— Emil

Haritalamanın var olduğunu kanıtlamanın bir yolu olasılıklı yöntemdir: F'yi rastgele seçin ve ardından haritalama bazı olasılıklarla çalışır. demek istediğim şey o.

— Suresh Venkat

Soru mükemmel bir şekilde tanımlanmış, ancak bence, başlık yanıltıcı. F iki yönlü olmadığı sürece, belirtilen koşulu karşılayan bir eşleme F'yi “dengeli vektörlerin kodlanması” olarak adlandırmam. Daha bir n-bit dizgisinin kodlama gibi göre dengeli bir vektör.

— Tsuyoshi Ito

“Çok iyi tanımlanmış” ve muhtemelen “verimli” olarak farklı yorumlara kadar. Ama bu benim önceki yorumumun konusu değil.

— Tsuyoshi Ito

Yanıtlar:

bit dizeleri ele alalım . Tanımlar: $n$ $x$

$f(x,i)$ = son bitleri tamamlanmış olarak bit dizesi . $x$ $i$
$b(x)$ = arasında "dengesizlik" : içinde 1 sayısı, de 0 ların sayısı . $x$ $x$ $-$ $x$

Şimdi dizesini düzeltin . işlevini düşünün . Gözlemler: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

. $g(0) = b(x)$
. $g(n) = -g(0)$
Tüm için . Ya bir 0'ı kaldırırız ve bir 1 ekleriz ya da tam tersini yaparız. $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

Şimdi şöyle bir var . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Bu nedenle, aşağıdaki gibi bir -bit dizesi : ve indeksinin ikili kodlamasını birleştirin . Dengesizlik mutlak değeri olan . Dahası, verilen kurtarabiliriz ; haritalama iki yönlüdür. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

Son olarak, ekleyebilir arasında dengesizliği azaltmak bit taklit ile ilgili için . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
kaynak

3. satırdaki b (x), b (y) olmalıdır.

— Emil

Ben muhtemelen (hatta g (i) bazı i için sıfır olduğundan emin olabilirsiniz) uzunluğunu sağlamak için dizeye x başka bir bit eklemek gerektiğini düşünüyorum.

— Emil

@Emil: Bazı

için

nin sıfır olduğunu iddia etmiyorum ;

nin mutlak değerinin bazı

için "oldukça küçük" olması yeterlidir (en çok logaritmik yeterli olacaktır, ancak bazı

için en fazla

olacağını göstermek kolaydır ).

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela

@Jukka: Ah evet anlıyorum.

— Emil

Ama evet, haklısın, aynı temel yaklaşımın birçok çeşidi var. Örneğin, önerdiğiniz gibi, önce

nin bazı

için eşit sıfır olmasını sağlamak için bir dolgu biti kullanabilirsiniz ; daha sonra kodlayabilir

bit çiftleri kullanılarak

veya

, yani

ilave uçları; birleştirmenin sonucu kesinlikle dengelidir ve başka bir şey eklemenize gerek yoktur.

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela

Sözcük bilgisi sırasını koruyan eşlemeyi kullanın. 1'lerle uzunluk- dengeli vektörü bulmak için , yinelemeli olarak yapın: eğer $k$ $n$ $n/2$ , sonra ilk bit 0'ı ayarlayın ve sonrakalanbitlerinitamamlamak için1'lerleuzunluk-vektörünübulun. Aksi takdirde ilk biti 1 ayarlayın vebulun $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ 'inci uzunluk-ile birlikte vektör1' s. $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
kaynak

Ve bir sonraki gerekli binom katsayısını hesaplamak için bir binom katsayısının değerini yeniden kullanırsanız, tüm algoritma O (n) zamanında çalışır.

— Tsuyoshi Ito

Teşekkürler! Bu mantıklı. Sanırım çalışma süresi hesaplama modeline bağlı olacaktır. Birim zamanda n-bit sayıları üzerinde işlem yapabiliyorsanız, Tsuyoshi Ito'nun uygulaması O (n) zamanında çalışacaktır. Öte yandan, bit işlemlerini sayarsanız, zaman O (n ^ 2) olacaktır, sanırım.

— Piotr