Tamamen klasik kasa (MIP)
Doğrulayıcı klasikse ve kanıtlayıcılar arasında önceden bir karışıklık yoksa, sınıfınız BPP∪NP içerir ve MA'da bulunur .
BPP'nin bir alt sınır olması önemsizdir. Sınıfın NP içerdiğini göstermek için, mükemmel tamlık ve sağlamlık hatası 1−1 / poli ile 3-renklendirme için standart iki-prover tek yönlü interaktif prova sistemini düşünün. Sağlamlık hatasını sabit olarak azaltmak istiyorsanız, bunu PCP teoremiyle birleştirin.
Üst sınırda olduğu gibi, aşağıdaki güçlü ifade geçerlidir: Doğrulayıcıdan her prover'a kadar toplam mesaj uzunluğunun O (log n ) olması kısıtlamasına sahip MIP, MA'ya eşittir. Bunun nedeni, her bir prover'ın stratejisinin bir dizi polinom uzunluğu ile tanımlanabilmesidir.
İlginç bir şekilde, sistem mükemmel bir bütünlüğe sahip olduğunda başka bir üst sınır vardır. Yani, O (log n ) bit toplam iletişimi ile mükemmel bütünlüğe sahip çok-prover interaktif prova sistemleri, en çok P NP [log] 'u tanır ve sınırsız sağlamlık hatasına izin versek bile bu durum geçerlidir. İki prover durumunda bu kanıtlamak için, izin x s ilk Mayalama tüm sorular birleşimidir birinci Mayalama tarafından verilen tüm cevapların birleştirme olması s ve tanımlamak y t ikinci Mayalama için benzer şekilde hazırlanabilir. Doğrulayıcı tarafından kesin olarak kabul edilmek için, bu değişkenler x s ve y tbelirli kısıtlamaları karşılamalı ve bunun bir 2CSP olduğuna dikkat etmelidir. Tuples ( s , t , x s , y t ) için en çok poli ( n ) seçeneği vardır ve her seçim için doğrulayıcının bu tuplayı reddetip reddetmediğini test etmek için NP oracle'i kullanabiliriz. Bu nedenle, NP oracle ile x s ve y t değişkenleri üzerindeki tüm kısıtlamaları listeleyebilirizpolinom zamanında. Son olarak, bu değişkenlere tüm kısıtlamaları karşılayan bir görev olup olmadığını test etmek için NP kehanetini bir kez daha kullanıyoruz. Bu algoritma NP oracle polinomunu birçok kez kullanmasına rağmen, sonuncusu hariç tüm sorgular paralel olarak yapılabilir ve bu nedenle bu bir P NP [ algoritması ] algoritmasına dönüştürülebilir. İkiden fazla proverin durumu benzerdir.
Bu üst sınır, her MA sisteminin mükemmel eksiksizliğe sahip bir sisteme dönüştürülebilmesine rağmen, MA⊆P NP [log] olmadığı sürece O (log n ) -bit iletişimi ile mükemmel eksiksizliğe sahip çok-kanıtlı etkileşimli bir kanıt sistemi umamadığımızı ima eder . MA⊆P NP [log] ' un ne kadar düşük olduğunu bilmiyorum , ama sadece Karmaşıklık Zoolojisinin BPP⊈ P NP (ve dolayısıyla açıkça MA⊈P NP [log] )' a göre bir kehanet olduğunu belirtti .
(Tek bir kanıtlayıcı söz konusu olduğunda, Goldreich ve Håstad [GH98] 'tan Teorem 2, toplam mesaj uzunluğu O (log n ) bitlerine sahip IP'nin BPP'ye eşit olduğunu ima eder .)
Eklendi . Gerekli ve yeterli bir karakterizasyon aşağıdaki gibidir.
Bu karakterizasyonu açıklamak için Karp indirgenebilirliği (polinom-zaman çok-bir indirgenebilirlik) kavramının bir varyantına ihtiyacımız var. İki karar problemleri için A ve B , en diyelim A FP olan BPP için -reducible B (Ben, bu korkunç bir isim olduğunu biliyorum) makine Turing bir deterministik polinom zamanlı olduğunda M evet-harita BPP kahin erişimi olan “akıllı olmayan” oracle erişimine izin verdiğimiz evet-örneklere ve örnek-olmayan örneklere örnekler (yani MBPP sorununun vaadini tatmin etmeyen bir örnek hakkında BPP kâhinine sorgu yapabilir, bu durumda kâhin keyfi olarak evet veya hayır döndürür). Daha sonra A problemi üzerindeki aşağıdaki koşulların eşdeğer olduğu kanıtlanabilir .
(i) A , O (log n ) -bit iletişimi ve iki taraflı sınırlı hataya sahip çok-kanıtlı etkileşimli bir kanıt sistemine sahiptir .
(ii) A , O (log n ) bit iletişimi, katlanarak küçük tamlık hatası ve sabit sağlamlık hatası ile iki-prover tek yönlü interaktif prova sistemine sahiptir .
(iii) bir FP BPP np bir sorun -reducible.
(İspat fikri: ima (ii) ⇒ (i) önemsizdir. İma (i) ⇒ (iii), tek taraflı hata durumunda yukarıdaki ispata benzer şekilde elde edilebilir. (İii) ⇒ (ii ) koşulunu (ii) karşılayan problem sınıfı FP BPP- indirgenebilirliği altında kapatıldığı için PCP teoreminden kaynaklanmaktadır.)
Karışık provalarla klasik doğrulayıcı (MIP *)
Daha sonra klasik bir doğrulayıcı ve dolaşmış protestocularla davayı düşünün. Bu durumda, sınırlı hataya sahip sınıf yine BPP∪NP içerir.
Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner ve Vidick [KKMTV11], NP'deki her sorunun, mesajların toplam uzunluğunun O olduğu mükemmel tamlık ve sağlamlık hatası 1−1 / poli olan üç-prover tek yönlü bir interaktif prova sistemine sahip olduğunu göstermektedir. log n ) bitler ve sağlamlık dolaşmış protestoculara karşı tutar. Bu nedenle, toplam ileti uzunluğu O (log n ) bitleri ve sınırlı hata içeren MIP * NP içerir. Ito, Kobayashi ve Matsumoto'nun [IKM09] (utanmaz fiş) daha sonraki bir sonucu, kanıtlayıcı sayısını üçten ikiye indirir. Sürekli sağlamlık durumu bildiğim kadarıyla açık.
Toplam ileti uzunluğu O (log n ) bitleri olan MIP * ' nin karar verilebilir problemlerin R sınıfında olup olmadığı bilinmemektedir ve bu soru doldurma argümanı tarafından MIP * ⊆R'nin (başka bir açık problem) olup olmadığına eşdeğerdir.
Referanslar
[GH98] Oded Goldreich ve Johan Håstad. Sınırlı iletişim ile etkileşimli kanıtların karmaşıklığı hakkında. Bilgi İşleme Mektupları , 67 (4): 205–214, Ağustos 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi ve Keiji Matsumoto. Yerelleşmeyen stratejilere karşı oracularizasyon ve iki-prover tek yönlü interaktif kanıtlar. Bildiriler: Yirmi Dördüncü Yıllık IEEE Hesaplamalı Karmaşıklık Konferansı (CCC 2009) , 217–228, Temmuz 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner ve Thomas Vidick. Karışık oyunları yaklaşık olarak bulmak zordur. SIAM Bilişim Dergisi , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293