Belirsiz zaman hiyerarşisinde doğal ayrılıklar var mı?

Orijinal Nondeterministic Zaman Hiyerarşisi Teoremi Cook'a aittir (link S. Cook, nondeterministik zaman karmaşıklığı için bir hiyerarşi , JCSS 7 343-353, 1973). Herhangi bir gerçek sayılar için bu teoremi durumları ve r 2 , eğer 1 ≤ r 1 < r, 2 , sonra NTIME ( n- r 1 ) sıkı bir şekilde NTIME içinde (bulunan n- r 2 ).$r_1$$r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

İspatın anahtar bölümlerinden biri (tanımlanmamış) köşegenleştirmeyi, daha küçük sınıfın öğelerinden ayırıcı bir dil oluşturmak için kullanır. Bu sadece yapıcı olmayan bir argüman değil, aynı zamanda köşegenleştirme ile elde edilen diller genellikle ayrılıktan başka bir içgörü sağlamıyor.

NTIME hiyerarşisinin yapısını anlamak istiyorsak, muhtemelen aşağıdaki soruya cevap verilmesi gerekiyor:

NTIME dilinde ( ) doğal dil var mı, NTIME dilinde değil ( n k )?$n^{k+1}$$n^k$

Bir aday k-ISOLATED SAT olabilir , ki bu bir CNF formülüne Hamming mesafesi k dahilinde başka hiçbir çözüm bulunmayan bir çözüm bulmayı gerektirir. Ancak, alt sınır kanıtlayan görünüyor olduğu zamanki gibi zor. Bu bir Hamming k-top kontrol olası çözümlerin açık olduğu açıktır gerektirir "gerektiği" farklı atamaları kontrol edilecek, ancak bu kolay hiçbir şekilde kanıtlamak . (Not: Ryan Williams, k- ISOLATED SAT için bu alt sınırın P ≠ NP olduğunu kanıtlayacağına işaret eder, bu nedenle bu sorun doğru aday gibi görünmüyor.)$\Omega(n^k)$$k$

Teoremin, P-NP gibi kanıtlanmamış ayrımlardan bağımsız olarak koşulsuz tutulduğunu unutmayın. Bu nedenle, bu sorunun olumlu bir cevabı, yukarıdaki k- ISOLATED SAT gibi ek özelliklere sahip olmadıkça$k$ P- NP'yi çözmez. NTIME'nin doğal bir şekilde ayrılması belki de zorluğunu sonsuz bir yükselen sertlik dizisinden alan NP'nin "zor" davranışının bir kısmını aydınlatmaya yardımcı olabilir.

Daha düşük sınırlar zor olduğu için, henüz bir kanıt olmasa da, daha düşük bir sınıra inanmak için iyi bir nedenimiz olabilecek doğal diller olarak kabul edeceğim. Bu soru DTime hakkında olsaydı Örneğin, o zaman kabul edilmiş olurdu olmayan bir azalan fonksiyonu için, -CLIQUE f ( x ) ∈ İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ( x ) , muhtemelen gerekli ayırmaları sağlayan doğal bir dil olarak, Razborov en ve Rossman devre alt sınır ve temel n 1 - ε clique -inapproximability.$f(k)$$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(Kaveh'un yorumuna ve Ryan'ın cevabına hitap etmek için düzenlendi.)

Bildiğim kadarıyla, bu dilleri bilmiyoruz ya da yaparsak, onların “doğallığı” hakkında ciddi bir tartışma var. Bunun gerçekten tatmin edici bir cevap olmadığını biliyorum, ancak şunu söyleyebilirim:

(a) Bir ispat ederse alt her için k-İZOLE SAT gitmekte zaman k , o zaman aslında kanıtladık P ≠ N P .$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(b) k-ISOLATED SAT’ın in k-ISOLATED olduğunu göstermek için bu doğal sorunlardan biri olduğunu göstermeyi ümit etmenin bir yolu SAT sorun için (etkili azalmalar sahip olağan, biçimsel olarak) zordur , N , T ı M E [ n k ] . Aslında bu sonuçları nasıl kanıtlayacağımızı bilmenin tek yolu budur. Ancak k-ISOLATED SAT bu anlamda muhtemelen zor değildir, bazı olası sonuçlar olabilir.$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

Temel nedeni, k-İZOLE SAT örnekleri içinde çözülebilir olan bağımsız olarak, k . İzole atamayı varoluşsal olarak tahmin edebilir, ardından evrensel olarak doğrulayabilirsiniz (tüm O için ( log ( ∑ k i = 1 ($\Sigma_2 TIME[n]$$k$ödevde en fazlakbitçevirme yolları) diğer "yerel" ödevlerin hiçbiri çalışmaz.$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$ ) yeterli olmaktadır. Ancak bir dil olduğunu ispatladık.$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$$P \neq NP$.

Here is the proof of part (b). If every $L \in NTIME[n^k]$ could be efficiently reduced to a k-ISOLATED SAT formula (e.g., all $n$ bit instances of $L$ get reduced to $k$-ISOLATED SAT formulas of at most $f(k) n^{c}$ size) then $NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$. This would immediately imply $coNP \neq NP$, but moreover it just looks very unlikely that all of $NP$ can be simulated so efficiently within the polynomial hierarchy.