Bir grafikteki uç sayısı: Ay ve Moser 1965 sonucu

10

Ay ve Moser 1965 klibi sonucunun tam metinlerini Grafiklerde Cliques'ta arıyorum ( üstel maksimum sayıda klibi olan grafikler var ). Üniversitemin ödeme duvarının ilgili dergiye erişimi yok. (Aslında, önizleme ispatın ilk birkaç cümlesini sağlar, ancak daha sonra beni dinlenmeden bırakır!) $n$

Takip ettiğim bir araştırma yönüyle ilgili bu sonuçla ilgileniyordum, ancak yön biraz değişti, bu yüzden itiraf ediyorum şimdi ilgim tamamen akademik merak.

Sorum şu:

Bir yerde kağıdın tam metnine bir bağlantı var mı yoksa kanıtı çizen başka bir kağıt mı VE bir kanıt taslağı burada çoğaltılacak kadar kısaysa, kimse biliyor mu? Ayrıca, üstel sayıda klibi olan grafik sınıfıyla ilgileniyorum.

Referans için BibTeX'i ekledim:

@article {springerlink:10.1007/BF02760024,
   author = {Moon, J. and Moser, L.},
   affiliation = {University of Alberta Edmonton Canada},
   title = {On cliques in graphs},
   journal = {Israel Journal of Mathematics},
   publisher = {Hebrew University Magnes Press},
   issn = {0021-2172},
   keyword = {Computer Science},
   pages = {23-28},
   volume = {3},
   issue = {1},
   url = {http://dx.doi.org/10.1007/BF02760024},
   note = {10.1007/BF02760024},
   year = {1965}
}

— Josephine Moeller
kaynak

1

buradan ikinci bir sayfa alabilirsiniz: mendeley.com/research/on-cliques-in-graphs/# :)

— Suresh Venkat

Ahh! Lanet olsun sana!

— Josephine Moeller

8

düğümlerindeki tüm grafiği alın ve mükemmel bir eşleşmeyi kaldırın; orada maksimal klikler.

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— Jukka Suomela

12

Gerçek sıkı alt sınır, mükemmel bir eşleşme yerine bir dizi ayrık üçgen çıkarılmasıdır. Biraz daha fazla, yerine kırpma verir .

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— David Eppstein

3

cevaplar lütfen, yorum değil.

— Suresh Venkat

17

Moon & Moser'in bir kopyam yok , ama: nodlu bir grafikte ( ) maksimum azami ayrılık sayısı , veya , mod 3 değerine göre . Bunu, maksimum bağımsız kümeleri saymanın tamamlayıcı formunda görmek biraz daha kolay olduğunu düşünüyorum. $n$ $n>1$ $3^{n/3}$ $4\cdot 3^{(n-4)/3}$ $2\cdot 3^{(n-2)/3}$ $n$

Kopyalarının ayrık birlikten bir grafik oluşturmak: alt sınır Gerçekten sorduğun ve çoğunlukla yukarıdaki yorumlar zaten verilmiş budur ve birçok nüsha olarak kullanarak, olabildiğince. Her maksimum bağımsız kümede, formülün izlediği bu tam altgrafların her birinden tam olarak bir düğüm bulunur. $K_2$ $K_3$ $K_3$

Ay ve Moser'in üst sınır kanıtının, bir grafiği alt sınır formuna (veya maksimum kliklerin tamamlayıcı formuna) dönüştürmeyi içerdiğini hatırlıyorum, her adımda bağımsız kümelerin veya kliklerin sayısını azaltmıyor. Ancak, tüm klipleri veya bağımsız kümeleri listelemek için en kötü durum-en uygun geri izleme algoritmalarına yol açan farklı bir kanıtlama yöntemi vardır (bkz. Benim kağıt arXiv: cs / 0011009 ). biraz sıkıcı. Bir köşe varsa derecesi üç veya daha fazla, grafik içinde , daha sonra her bir maksimal bağımsız grubu ya da bir maksimal bağımsız dizi ya da içerir $v$ $G$ $G$ $G\setminus v$ $v$ ve ve tüm komşularını kaldırarak oluşturulan grafiğin maksimum bağımsız bir kümesidir . İndüksiyonla (bu iki küçük grafikte bağımsız küme sayısı için formülün takılması, bazı vaka analizi mod 3 ile), sınır aşağıdaki gibidir. Öte yandan, yüksek dereceli tepe noktası yoksa, grafik, bağımsız kümelerin sayısını doğrudan hesaplayabileceği yolların ve döngülerin ayrık bir birleşimidir. $G$ $v$

— David Eppstein
kaynak

Çok ayrıntılı bir cevap yazmak için zaman ayırdığınız için çok teşekkür ederim.

— Josephine Moeller

1

@David Eppstein, maksimum k-plex sayısı üzerindeki sınır için benzer bir sonucunuz var mı (burada k-plex, herhangi bir düğümün en fazla k diğer düğümden

— ayrılabilmesi dışında bir klikine benzer

7

Ay-Moser teoremini Fomin-Kratsch Tam Algoritmalar kitabında da arayabilirsiniz.

— vortk
kaynak

6

Şimdiye kadar verilen cevaplar harika. Bazı referanslar ekleyeceğimi düşündüm.

Moon-Moser teoremi, teknik raporda Miller ve Muller [1960] tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.
Wood [2011] ve Vatter [2011], David'in ana hatlarıyla çizdiği yaklaşımı kullanarak Teorem hakkında daha basit kanıtlar vermektedir.

Miller, RE ve Muller, DE 1960. Maksimum tutarlı alt kümeler sorunu. IBM Araştırma Raporu RC-240, JT Watson Araştırma Merkezi, Yorktown Heights, NY.

Vatter, V. 2011. Maksimum bağımsız kümeler ve ayırma örtüleri . Amerikan Matematiksel Aylık 118, 418-423.

Wood, DR 2011. Bir grafikteki maksimum bağımsız küme sayısı . CoRR abs / 1104.1243.

— Serge Gaspers
kaynak

1

Möller, Moon ve Moser'ı istedi, Miller ve Muller ve Mathematical Monthly'den bir parça cevapladın. Neler oluyor?

— Pål GD

4

Moon ve Moser'ın 1965 tarihli makalesinin bir kopyası: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MoonMoser65.pdf

Sonucun 1960 ve Miller tarafından ilk kez kanıtlandığını unutmayın: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MillerMuller-NumberMaximalCliques.pdf

— user26635
kaynak