İnşa edilemeyen fonksiyonlar ve anormal sonuçlar

Arora-Barak kitabında, zamanla yapılandırılabilir fonksiyonların tanımında, zamanla yapılandırılamayan fonksiyonların kullanılmasının "anormal sonuçlara" yol açabileceği söylenir. Böyle bir "anormal sonuç" örneği var mı? Özellikle zaman hiyerarşisi teoreminin tutmayacağı fonksiyonlar olabileceğini duydum, böyle fonksiyonlara sahip olan var mı? Literatürde bir yerlerde bununla ilgili bir şey var mı?

Borodin'in Boşluk Teoremi : Tüm hesaplanabilir her fonksiyon için$g(n) \geq n$, toplam hesaplanabilir fonksiyon var $t$ öyle ki $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$.

Aslında, bunun yerine herhangi bir Blum karmaşıklık ölçüsü için geçerlidir $DTIME$.

Ayrıca wikipedia sayfasına ve içindeki referanslara bakınız .

Wikipedia makalesi kanıt vermediğinden ve makale ACM DL'de olduğundan, kanıtın buraya gönderilmesinin yararlı olabileceğini düşündüm:

THEOREM 3.7. (Boşluk Teoremi).

İzin Vermek $\Phi$ karmaşıklık ölçüsü olmak, $g$ azalmayan özyinelemeli işlev $\forall x, g(x) \geq x$. Sonra artan özyinelemeli bir işlev var$t$ böylece karmaşıklık ölçüsü hesaplanabilir fonksiyonları $t$ karmaşıklık ölçüsünün hesaplanabilen fonksiyonları ile aynıdır $g\circ t$.

KANIT.

Tanımlamak $t$ aşağıdaki gibi:

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. hepsi için $n$, var $k$, herkes için $i \leq n$:

   a. Eğer$\Phi_i(n)$ tanımsızsa $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$, ve

   b. Eğer $\Phi_i(n)$ o zaman tanımlandı $\exists k, \Phi_i(n) < k$.

2. $k$ özyinelemeli olarak bulunabilir, çünkü $\Phi$ karmaşıklık ölçüsüdür ve $\Phi_i(n) <k$ ve $\Phi_i(n) > g(k)$ özyinelemeli yüklemlerdir.

3. $t$ teoremi yerine getirir, çünkü $n \geq i$ ima da $\Phi_i(n) < t(n)$ veya $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$.

QED.

Biz keyfi olarak büyük bir $t$Teorem 3.7'ye uygun bulunur. Diyelim ki istiyoruz$t(n) > r(n)$, sonra tanımla

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(Allan Borodin'den, " Hesaplama karmaşıklığı ve karmaşıklık boşluklarının varlığı ", JACM 1972, küçük değişikliklerle.)