Cheeger sabitini hesaplamak: hangi sınıflar için uygulanabilir?

19

Bilgisayar bir grafik Cheeger sabit (esas olarak en az alanı / hacim oranı nedeniyle), aynı zamanda Kümenin sabiti olarak da bilinen, NP, bitmiş olduğu bilinmektedir. Genellikle yaklaşıktır. Özel grafik sınıfları için kesin polinom algoritmalarının bilinip bilinmediğini öğrenmek istiyorum. Örneğin, normal grafikler için hala NP-tamamlanmış mı? İçin mesafeye düzenli grafikler ? (Varsayımlarını incelemek için mevcut NP-tamlık kanıtlarını incelemedim.) Edebiyatın dikkat çekenleri - teşekkürler!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Joseph O'Rourke
kaynak

3

bu güzel bir soru. Yaklaşımların en az kesim yöntemleriyle bir ilgisi var mı?

— Suresh Venkat

1

Bunun eski bir soru olduğunu biliyorum, ama herkes sabit bir yüzde içinde sabit olsun genel grafikler için polinom zaman yaklaşımı bilip bilmediğini merak ediyordum?

— yberman

11

içinde en yakın kesimin yaklaşık verdiğine dikkat edin. $\alpha$ $2\alpha$ tanımlanan Cheeger sabiti yaklaşım. Kısıtlı grafiklerde en kesik kesimler için sabit yaklaşım algoritmaları veren bazı makaleler şunlardır:

Sınırlı cins: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Sınırlı treewthth: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Ayrıca, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 , en geniş kesimin yol genişliği 2 olan grafikler için NP-zor olduğunu ve kısıtlı örneklerde en az kesime yaklaşmak için birkaç referansa sahip olduğunu kanıtlamaktadır.

Makalede belirtilen tüm grafik sınıfları için kesin bir algoritmanın bilinmediğini varsayıyorum (yaklaşık olarak ilgilendikleri için). Özellikle, en geniş kesim yol genişliği 2 olan grafikler için NP-sert ise, aynı zamanda treididth 2 ve kesme genişliği 2 grafikleri için NP-zor ise. en az kesim için parametreleştirme.

En düzenli kesimin normal grafiklerde NP-sert olduğundan eminim ama bir referans bulamıyorum.

Per, yukarıdaki makalelere baktığımda dikkatli olmadığımı fark etti. Sertlik sonucu düzgün olmayan en az kesim içindir. Düzgün en küçük kesimi veya Cheeger sabitini hesaplamak ağaçlarda kolaydır (WLOG optimum kesim bir alt ağacı ayırır). Sınırlı treewidth grafiklerde Cheeger sabitini hesaplamak için dinamik bir programlama algoritması veren biraz daha fazla çalışma ile.

Yukarıdaki kağıt 2'deki Tablo 1, dışlanmış bir minör olan grafikler için sabit bir yaklaşım veren bir sonuçtan da bahsetmektedir.

$O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Sasho Nikolov
kaynak

Kendi kendine döngüler ekleyerek herhangi bir grafiği düzenli hale getiremez misiniz?

— AÇS

2

@MCH bu şekilde tek derece köşe noktaları tek derece kalır ve hatta derece köşeleri bile derece kalır

— Sasho Nikolov

1

Yol genişliği 2 için bahsettiğiniz sertlik sonucu , Cheeger sabiti ile ilgili olmayan düzgün olmayan en küçük kesim içindir. Gerçekten, görebildiğim kadarıyla, en düzgün kesimi veya Cheeger sabitini tam olarak sınırlandırılmış treewidth grafiklerinde hesaplamak kolaydır.

— Aust Austrin

5

Düzlemsel grafiklerde kesin çözüm için, bkz. Park ve Phillips, STOC 93 . Bu esasen, paydalarının küçük farkıyla, üniform taleplerde en az kesim için geçerlidir | S | | S | * | VS | yerine. Per'in işaret ettiği gibi, muntazam olmayan talepler durumu farklıdır.

— Robert Krauthgamer
kaynak