P'yi yakalayan indüksiyon olmadan bir mantık var mı?

Immerman-Vardi teoremi ptime (veya P) düzenli yapıların sınıfı üzerinde sabit bir nokta operatörü ile birlikte Birinci Dereceden Mantık bir cümle ile tarif edilebilir dillerin sınıf tam olduğunu belirtmektedir. Sabit nokta operatörü ya en az sabit nokta (Immerman ve Vardi tarafından değerlendirildiği gibi) ya da enflasyonist sabit nokta olabilir. (Stephan Kreutzer, En az ve enflasyonist sabit nokta mantığının ifade denkliği , Saf ve Uygulamalı Mantığın Annals 130 61-78, 2004).

Yuri Gurevich, PTIME ( Teorik Bilgisayar Biliminde Güncel Eğilimlerdeki Mantık ve Bilgisayar Biliminin Zorluğu , ed. Egon Boerger, 1-57, Computer Science Press, 1988) olduğunu söyleyen hiçbir mantık olmadığını belirtti. daha az emin ( PTIME Yakalayan Bir Mantık Görevi , FOCS 2008).

Sabit nokta operatör, özyineleme gücünü yakalamak içindir. Sabit noktalar güçlüdür, ancak gerekli oldukları bana belli değil.

FOL + X'in (büyük) bir PTIME parçası yakalayacağı şekilde sabit noktalara dayanmayan bir X operatörü var mı?

Düzenleme: Anladığım kadarıyla, doğrusal mantık yalnızca oldukça kısıtlayıcı bir yapıya sahip yapılar hakkındaki ifadeleri ifade edebilir. İdeal olarak, sabit noktalardan kaçınırken, isteğe bağlı ilişkisel yapı kümelerinin özelliklerini ifade edebilen bir mantığa referans veya bir taslak görmek istiyorum. Doğrusal mantığın ifade gücü konusunda yanılmıyorsam, bir işaretçi ya da ipucu memnuniyetle karşılanacaktır.

Bazılarının Grädel Teoremi dedikleri şeye bir göz atmak istersiniz. Papadimitriou'nun "Hesaplamalı Karmaşıklık" adlı kitabında (sayfa 176'deki Teorem 8.4) veya Grädel'in orijinal makalesinde bulabilirsiniz .

Özetle, Grädel'in Teoremi, Fagin'in Teoreminin NP'ye ne olduğunu P ile ilgilidir. Ardışık bir ilişkiye sahip sonlu yapılar sınıfında, polinom-zaman geçerliliği olan özelliklerin toplanmasının, varoluşsal varolan ikinci dereceden mantığın Boynuz bölümünde açık olanlarla çakıştığını belirtir. Bu formun ikinci dereceden mantığı cümlelerin burada R, ikinci dereceden bir ilişki değişken olan bir dizi, X birinci dereceden bir değişken sekansıdır ve φ nicelik olan -CNF formunda yazıldığında, R’nin bir birleşimi olan ücretsiz formül

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$-Horn cümleleri (yani, değişkenleri içeren ve en fazla reddedilmemiş bir atomu olan maddeler ).$R$

Anladığım kadarıyla, doğrusal mantık yalnızca oldukça kısıtlayıcı bir yapıya sahip yapılar hakkındaki ifadeleri ifade edebilir. İdeal olarak, sabit noktalardan kaçınırken, isteğe bağlı ilişkisel yapı kümelerinin özelliklerini ifade edebilen bir mantığa referans veya bir taslak görmek istiyorum. Doğrusal mantığın ifade gücü konusunda yanılmıyorsam, bir işaretçi veya ipucu memnuniyetle karşılanacaktır.

Bu doğru değil: tüm değişmeli değişmeli monoidal kafesler doğrusal mantık modelleridir. İşte sonlu grafiklerden böyle bir kafes yaratmanın kolay bir yolu. Set ile başla

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

Dolayısıyla zorlama ilişkimiz ve sezgi ise n'nin ϕ formülüne "ait" düğümler kümesi olduğu . Kısmi bir işlem var ( ⋅ ) : M × M → M , şöyle tanımlanır: ( g , n ) ⋅ ( g ′ , n ′ ) = { ( g , n ⊎ n ′ ) g = g $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Bu, eğer grafikler eşitse ve sahip olunan kümeler birbirinden ayrıysa, kendi eleman setlerini birleştirerek iki elemanı birleştirir.

Şimdi, aşağıdaki gibi bir doğrusal mantık modeli verebiliriz:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Bu model aslında yığın işleme programlarının doğrulanmasında yaygın olarak kullanılan ayırma mantığında kullanılanların bir çeşididir. (İsterseniz, grafiği yığının işaretçi yapısı olarak düşünün ve analoji kesindir!)

Gerçekte, doğrusal mantık hakkında düşünmenin doğru yolu bu değildir: gerçek sezgileri ispat teoriktir ve karmaşıklıkla bağlantı kesme ortadan kaldırma teoreminin hesap karmaşıklığı ile sağlanır. Doğrusal mantığın model teorisi, kanıt teorisinin gölgesini oluşturuyor.

PTIME yakalayan bir mantık arayışı ile ilgili son heyecan verici sonuçlar var. Cai, Fürer ve Immerman'ın LFP + C'nin PTIME'yi yakalamadığını gösteren ünlü örneği , görünüşte yapay bir grafik sınıfına dayanıyordu. Elbette, LFP + C'nin kısıtlamalarını gösterme görevi için yapıldı. Sadece son zamanlarda tarafından gösterildi Dawar sınıfın hiç yapay olmadığı . LFP + C'nin lineer denklem sistemlerini çözemediği gerçeğine bir örnek olarak görülebilir!

Dolayısıyla Dawar, Grohe, Holm ve Laubner , lineer cebirden gelen operatörler tarafından, örneğin tanımlanabilir bir matrisin derecesini tanımlamak için bir operatör tarafından mantıkları genişletti. Sonuçta ortaya çıkan mantık LFP + sırası kesinlikle LFP + C'den daha fazlasını ifade edebilir, aslında, LFP + sıralamasının ifade edemediği bilinen bir PTIME özelliği yoktur.

FO + rk bile şaşırtıcı şekilde güçlüdür, deterministik ve simetrik geçişli kapanışı ifade edebilir. Grafiğin genel geçişli kapanmasını ifade edip edemediği hala açıktır.

"Yakala" derken neyi kastettiğinize bağlı olarak, Yumuşak Doğrusal Mantık ve Polinom Zamanı Yves Lafont'un ilgi çekici olabilir. Bu mantıkta ispatlara 1-1 ve yazışma ve 0 ya da 1 olarak dizge alan PTIME algoritmaları var.

$C^*$

Bu problemle ilgili bazı eski çalışmalar, yine Doğrusal Mantık damarı Jean-Yves Girard, Andre Scedrov ve Philip Scott. Sınırlı doğrusal mantık: Polinom-zaman hesaplanabilirliğine modüler bir yaklaşım. Teorik Bilgisayar Bilimi, 97 (1): 1–66, 1992.

Daha yeni yapılan çalışmalar arasında Ugo Dal Lago ve Martin Hofmann'ın yeniden ziyaret ettiği Sınırlı Doğrusal Mantık yer alıyor .