Çoğunluk oyu için en iyi yaklaşım nedir?

Çoğunluk oylama işlemi, fonksiyonun giriş bitlerinin değerinde en sık görülen değere biraz eşit olduğu hata toleransında (ve şüphesiz başka yerlerde) oldukça sık görülür. Basitlik açısından, giriş 0 ve 1 durumlarında eşit sayıda bit içerdiğinde 0 değerini verdiğini varsayalım.

Bu, girdide en sık ortaya çıkan değeri döndürerek ve bir bağlantı olması durumunda, sözlükbilimsel olarak ilk gelen en sık değeri döndürerek, her girdi için 2'den fazla olasılık bulunan bitlere genelleştirilebilir. Bu işleve "çoğulluk oyu" diyelim.

Her girişin sabit bir olasılık dağılımı olduğunda (ve dağılım girişteki her bir dit için aynı olduğunda) böyle bir işlevin çıktısıyla ilgileniyorum. Özellikle aşağıdaki soruyu önemsiyorum.

Verilen bir dizi , grubu, bağımsız bir şekilde rasgele numune halinde olasılığı olan zamanların, seçme elemanının sabit bir seçimi için, her Bu çıktıların çoğulluğunun oy kullanma olasılığı ? $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

Şimdi, yukarıdaki sorunun kesin cevabını, çok terimli dağılımlar üzerinden bir toplam olarak hesaplamak kolaydır. Ancak, benim amacım için, bu ideal olmaktan daha az ve yakınlaşma için daha iyi olurdu. Benim sorum şu:

Yukarıdaki olasılığa hangi kapalı form yaklaşımı, tam değerden maksimum mesafeye en sıkı bağlanır?

co.combinatorics

— Joe Fitzsimons
kaynak

Bilmiyorum, ama "kontrol teorisi fikir birliği" veya "kontrol teorisi fikir birliği sorunu" arama ifadesini öneririm. Bu, dağıtılmış bilgi işlem konsensüs probleminden farklı bir sorundur ve ihtiyacınız olan şey olabilir.

— Aaron Sterling

N, n'ye kıyasla büyük olduğunda iyi sonuç veren bir yaklaşım mı arıyorsunuz? Eğer öyleyse, kravat kırma kuralı ilgisiz olmalıdır.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Evet, öyleyim ve gerçekten de bu kural ilgisiz, ancak sorunun iyi sorulduğundan emin olmak istedim. Bağların nasıl kırıldığı umrumda değil, çünkü bu tutarsızlığı sınırlamak kolaydır.

— Joe Fitzsimons

İşte zarf tahmininin arkasında ...

setini

seçme

. Bu bir binom değişkendir. Bağımsız olduklarını varsayalım. Şimdi, sabit bir değer için

, sen bu değer elde olasılığını hesaplayabilir

ve bu değer için diğer değişkenler her yerinde kazanır olasılığını hesaplamak. Bu, olasılık üzerinde oldukça iyi sınırlar vermelidir. Tabii ki en sıkı değiller - hesaba katmak istediğiniz daha fazla bağımlılık, tahmininiz o kadar kesin olacak, ancak daha fazla hesaplama yapmanız gerekecek.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Sariel Har-Peled

Eğer herkes için , daha sonra $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [sonuç farklı v] \leq min_{T} (P r [B (N-, p_{v}) \leq T] + P r [\forall ben \neq v B (N-, p_{ben}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

burada binom dağılımı ve $B(n, p)$ $T$ isteğe bağlı bir eşiktir. Takma kullanarak Chernoff sınırları, tek olarak bu olasılığı üst sınır olabilir . $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

Elbette, maksimum değilse, karşı resmi elde edersiniz. Ezici bir olasılıkla sonuç değildir. $p_v$ $v$

— ilyaraz
kaynak

Sorunu düşündüğün için teşekkürler, ama aradığım şey bu değil. Kapalı bir form değil. Sınırsız sayıda üstel sayı toplamam gerekiyor. Kesin çözümü nasıl yazacağımı zaten biliyorum ve bireysel terimler için birçok yaklaşım biliyorum, ama istediğim bu değil. Bireysel terimlere değil, çözüme kapalı bir form yaklaşımı arıyorum. Ayrıca hata iyi bir bağlı gerekir.

— Joe Fitzsimons

n

$n$

@ilyaraz İlk eşitsizliğinizi anlamaya çalışıyorum. Neden tuttuğunu daha iyi açıklayabilir misin? Sanırım sendikayı bir şekilde bağlı kullandın ama anlayamıyorum. Thanks :)

— AntonioFa