Genel grafiklerde yaklaşık 2'den az mesafeleri hesaplamak?

kenarlı ağırlıklı yönlendirilmemiş bir grafik göz önüne alındığında , verilen herhangi bir köşe çifti arasında yaklaşık 2'den daha az uzaklık mesafesini hesaplamak istiyorum. Tabii ki, subakratik boşluk ve doğrusal olmayan sorgu zamanını kullanmak istiyorum. $m = o(n^2)$

Zwick'in matris çarpımını kullanan sonucunun farkındayım, ancak bu sorun için herhangi bir kombinasyon algoritması biliniyor mu merak ediyorum?

ds.algorithms graph-algorithms

— Siddhartha
kaynak

Merhaba @Siddhartha, bu aptalca bir soru ise özür dilerim: Zwick'in sonuçları ikinci dereceden boşluk kullanıyor gibi görünüyor, doğru mu?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Ayrıca, ek hataya izin veriliyor mu?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - Sadece çarpma yaklaşımı ile ilgili sonuçlarla ilgileniyordum. Katkı yaklaşımı durumu kendi başına ilginç olabilir - sanırım yoğun grafikler için daha kolay. Bir anahtar kullanabilir ve yeterince yoğun grafikler için ilave yaklaşım elde edilebilir. Seyrek grafikler için bildiğim kadarıyla somun anahtarları yardımcı olmaz.

— Siddhartha

Aşağıdaki argüman işe yaramıyor mu?

köşesi ve

kenarı olan herhangi bir

grafiğini düşünün . Kenarların tüm ağırlıklarını

düşünün .

kesinlikle daha iyi yaklaşım yapabilen herhangi bir mesafe kehaneti , grafikte olsun ya da olmasın, olası her kenar için karar vermek için kullanılabilir. Ancak bu tabii ki böyle bir mesafe kehanetinin

bit kullanması gerektiği anlamına gelir . Hayır? (Argüman biraz el yıkamadır, ancak doğru olmalıdır.) (Resmi olarak bit sayısı , burada . Bu .

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sarıel, Har-Peled

Teşekkürler Sariel - bir alt sınırı türetmek mümkün olabilir ama bununla iyiyim. Sahip olmak istediğim tek şey, subakratik boşluk ve alt doğrusal sorgulama zamanı. kenarlı grafikler için alt sınırı sorun için bir şey söylemez - bu doğru mu?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

Yanıtlar:

Bildiğim kadarıyla, subakadratik uzayda ve alt lineer sorgu süresinde 2'den az yaklaşık uzaklık mesafelerinin hesaplanmasında yayınlanmış bir sonuç yoktur. Yaklaşık mesafeleri hızlı bir şekilde almak için, Baswana ve Kavitha tarafından yazılan "Tüm Çiftler için Daha Hızlı Algoritmalar" başlıklı sonuçlara ve referanslara bakmak isteyebilirsiniz (FOCS makalelerinin dergi sürümü ilgili çalışmaları iyi bir şekilde gözden geçirir); bunların hiçbiri subakadratik alana ulaşamaz.

Yaklaşık mesafeleri kompakt bir şekilde almak için, yukarıdaki iki kağıttaki sonuçlara ve referanslara bakmak isteyebilirsiniz. [Gabor, dikkatli bir kelime ile yanıt bir ek olarak: yukarıda belirtilen kağıtların bazı kıtlık konusu hakkında dikkat - yakınlaştırılması için , bir grafik kullanıcı seyrek olduğu söylenir , olarak muhtemelen zaten biliyor]. $2$ $m = o(n^2)$

Sariel'in yukarıdaki yorumlardan birinde işaret ettiği gibi, küçük yaklaşık uzaklık mesafelerini hesaplamak için alan üzerinde doğal bir alt sınır , , yani grafik boyutunda lineerdir. Sorgu süresi sınırlanmamışsa, bu alt sınır geliştirilemez (önemsiz olarak, sadece grafiği saklayarak en kısa yol algoritmasını kullanabilir). Sabit sorgu süresi için iki alt sınır biliyorum. Birincisi, Patrascu ve Roddity az yakınlaştırılması için geçerlidir onların Focs 2010 yazıda bazı koşullu alt sınır vardı . İkincisi, Sommer ve ark. ark. son derece seyrek grafikler için bazı düşük sınırlara sahipti. Diğer (önemsiz) alt sınırların farkında değilim. $2$ $\Omega(m)$ $2$

Üst sınırlar açısından, yukarıdaki çalışmalardan elde edilen sonuçlar, daha az bir yaklaştırmaya benzemiyor gibi görünmektedir . Son zamanlarda bu sorun üzerinde bazı ilerlemeler kaydettik. Bildiri yakında ArXiv'de olmalı, ancak isterseniz bana bir e-posta gönderin, bildiriyi paylaşmaktan memnuniyet duyarım. $2$

Bu yardımcı olur umarım.

~ Rachit Agarwal

— Rachit
kaynak

Rachit Agarwal'ın 2011 INFOCOM makalesi ilginizi çekebilir:

Rachit Agarwal, P. Godfrey'i Aydınlat, Sariel Har-Peled Seyrek Grafiklerde Yaklaşık Mesafe Sorguları ve Kompakt Yönlendirme, IEEE INFOCOM 2011

Özetden:

Grafik ortalama derecesi [a için] , bizim veri yapılarının, özel durumlar ile streç 2 yollarını almak yer [...] pahasına sorgu süresi. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Mesafe kehanetinin sadece seyrek grafikler için olduğunu, ancak logaritmik derece sınırının mantıklı olduğunu unutmayın. Ek olarak, algoritma ağırlıklı grafikler için de çalışır.

— Gabor Retvari
kaynak

Ayrıca bir göz atmak isteyebilirsiniz

Pătraşcu, Roditty, Thorup Ötesinde Mesafe Orasles - Zwick Bound , FOCS 2010

$O(n^{5/3})$

— zotachidil
kaynak

Teşekkürler! Agrawal ve Mihai'nin makalesi, bir şeyi kaçırmadıkça, "2'den az" yaklaşım hakkında bir şey söylemiyor gibi görünüyor.

— Siddhartha

Değil, ancak bu esnemeyi iyileştirmek için nasıl bir değiş tokuş yapacağınız hakkında bir fikir verebilir.

— 17'de zotachidil