Monoton aritmetik devreler

Genel aritmetik devreler hakkındaki bilgilerimizin durumu, Boolean devreleri hakkındaki bilgimizin durumuna benzer gözüküyor, yani iyi düşük sınırlarımız yok. Öte yandan, monoton Boole devreleri için üstel boyutlarda alt sınırlarımız var .

Monoton aritmetik devreleri hakkında ne biliyoruz ? Onlar için de benzer alt sınırlarımız var mı? Eğer değilse, monoton aritmetik devreler için benzer alt sınırlar elde etmemize izin vermeyen temel fark nedir?

Soru, bu soruya yapılan yorumlardan ilham almıştır .

Monoton aritmetik devreler için daha düşük sınırlar daha kolay gelir çünkü iptalleri yasaklar. Öte yandan, herhangi bir monoton bile boole fonksiyonları bilgisayar devreleri için üstel alt sınır kanıtlayabilirim gerçek değerli fonksiyonlar kapıları olarak izin verilir (örneğin Tarikatı bakınız yılında 9,6. Kitabın ).$g:R\times R\to R$

Monoton aritmetik devreleri monoton boolean devrelerden daha zayıf olsa da (ikincisi ve iptallerini yapıyoruz ), bu devreler dinamik programlama ile olan ilişkilerinden dolayı ilginçtir ( DP) algoritmaları. Bu tür algoritmaların çoğu semirtasyon veya üzerindeki devrelerle simüle edilebilira ∨ ( a ∧ b ) = a ( + , dk $a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$. Gates, daha sonra algoritma tarafından kullanılan alt sorunlara karşılık gelir. Jerrum ve Snir'in (V Vinay'ın makalesinde) gerçekte kanıtladıkları, Min Ağırlık Mükemmel Eşleşmesi için (TSP problemi için) herhangi bir DP algoritmasının katlanarak birçok alt problem üretmesi gerektiğidir. Fakat Perfect Mathching problemi "DP flawor" değil (Bellman'ın İyileştirme Prensibini karşılamıyor ). Doğrusal programlama (DP değil) bu problem için çok daha uygundur.

Ne optimizasyon problemleri hakkında Yani olabilir makul küçük DP algoritmaları tarafından çözülecek - biz onlar için de alt sınır kanıtlayabilirim? Bu açıdan çok ilginç olan Kerr'ın eski bir sonucudur ( doktorasındaki Teorem 6.1 ). Bu, Tüm Çiftlerin En Kısa Yolları problemi (APSP) için klasik Floyd-Warshall DP algoritmasının en uygun olduğu anlamına gelir : alt problemleri gereklidir. Daha da ilginç olanı, Kerr'ın argümanının çok basit olmasıdır (Jerrum ve Snir'in kullandığından çok daha basit): dağılım eksenini kullanır. ve onun argümanları birini ayarlayarak "öldürmek" min-kapılarına ihtimali .Bu arada o kanıtlıyor, bir + dakika ( b , c ) = dakika ( bir , b ) + dakika ( bir , c ) 0 , n 3 , n x n ( + , dk $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$artı kapıları , semiring üzerine iki matrisle çarpmak için gereklidir . Tarikatta Aho, Hopcroft ve Ullman tarafından yazılmış kitabın 5.9'unda, bu sorunun APSP problemine eşdeğer olduğu gösterilmiştir.$n\times n$$(+,\min)$

Bir sonraki soru şu olabilir: Ya Tek Kaynaklı En Kısa Yollar (SSSP) sorunu? Bunun için Bellman-Ford DP algoritması (görünüşte "basit") problemi de kapıları kullanır. Bu optimal mi? Şimdiye kadar, en kısa yol probleminin bu iki versiyonu arasında bir ayrım yoktur; Bu çizgiler boyunca Virginia ve Ryan Williams'ın ilginç bir makalesini görün . Bu nedenle, SSSP için devrelerdeki bir alt sınırı harika bir sonuç olacaktır. Sonraki soru olabilir: Sırt çantası için alt sınırlar ne olacak? Bu taslakta Sırt Çantası için alt sınırlar , kullanımının zayıf olduğu devrelerde kanıtlanmıştır.Ω ( n- 3 ) ( + , dakika ) ( + , maks ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-gates kısıtlıdır; Ek Kerr'ın kanıtı çoğaltılmıştır.

Evet. Sınırları iyi biliyoruz ve onları bir süredir biliyoruz.

Jerrum ve Snir , kalıcılık için monoton aritmetik devreler üzerinde 1980 yılına kadar üssel bir alt sınır olduğunu kanıtladılar . Valiant, tek bir eksi kapının bile üssel olarak daha güçlü olduğunu gösterdi .

(Monoton) aritmetik devreleri hakkında daha fazla bilgi için, Shpilka'nın aritmetik devreler üzerindeki anketine göz atın .

Bildiğim kadarıyla bu diğer sonucu gereğidir Arvind Joglekar ve Srinivasan - onlar mevcut açık polinomları doğrusal ölçekli width- tarafından hesaplanabilir monoton aritmetik devreler ancak herhangi width- monoton aritmetik devre üstel boyutunu alacaktı.$2k$$k$

Bu sayı yapar: Chazelle'in temel aralık arama problemleri için yarı-grup alt sınırları (çevrimdışı ayarda). Tüm alt sınırlar neredeyse optimumdur (alt sınırların polinom olması durumunda log koşullarına ve alt sınır pollogaritmik olduğunda log log terimlerine kadar).