Submodüler bir fonksiyonun ayrıştırılması

Submodüler bir fonksiyon verildi $f$ üzerinde $\Omega=X_1\cup X_2$ nerede $X_1$ ve $X_2$ ayrık ve $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ . Buraya $f_1$ ve $f_2$ altmodeli $X_1$ ve $X_2$ sırasıyla.

Buraya $X_1,X_2,f_1,f_2$ bilinmiyor ve yalnızca $f$ verilmiş. Sonra bir çoklu zaman algoritması var $X_1$ . İçin birden fazla seçenek varsa $X_1$ herhangi biri iyi olmalı.

Bazı düşünceler. Eğer iki unsur bulabilirsek $t_1,t_2$ öyle ki her ikisi de $X_1$ veya ait $X_2$ sonra bunları birleştirebilir ve yinelemeli olarak ilerleyebiliriz. Ancak böyle bir adımın nasıl uygulanacağı açık değildir.

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
kaynak

Bunu mu demek istiyorsun

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$ nerede

f_{1}

$f_1$ ve

f_{2}

$f_2$ altmodeli

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ sırasıyla?

— Chandra Chekuri

Evet, gerçekten demek istedim. Yazım hatası yazdığınız için teşekkürler, düzelteceğim.

— Ashwinkumar BV

Aşağıda söylediğim şeyin doğru olup olmadığından emin değilim ama işte fikir. Rasgele bir öğe al

e \in Ω

$e \in \Omega$ . Eğer

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ sonra

e

$e$ öğelerin geri kalanından etkilenmez, böylece seçim yapabiliriz

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$ ve

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$ . Aksi takdirde

X

$X$ içerme açısından minimal bir alt küme olmak

Ω - e

$\Omega-e$ öyle ki

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$ . Sonra öyle görünüyor ki

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$ aynı bölümde olmalı ve bu nedenle seti tek bir elemana daraltabiliriz ve eğer

Ω

$\Omega$ aksi takdirde istenen bir bölümün olmadığı sonucuna varıyoruz.

— Chandra Chekuri

Bir cevaba yorum yapmaya karar verdi.

— Chandra Chekuri

Rasgele bir öğe al $e \in \Omega$ . Eğer $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ sonra $e$ öğelerin geri kalanından etkilenmez, böylece seçim yapabiliriz $X_1 = \{e\}$ ve $X_2 = \Omega-\{e\}$ . Aksi takdirde $X$ içerme açısından minimal bir alt küme olmak $\Omega-e$ öyle ki $f(e) > f_X(e)$ . Sonra $X \cup \{e\}$ aynı bölümde olmalıdır. Eğer $X \cup \{e\} = \Omega$ istenen bir bölüm olmadığı sonucuna varıyoruz, aksi takdirde bu seti tek bir öğeye ve geri çekime küçültüriz.

— Chandra Chekuri
kaynak