Düğümlerde “yerel olarak eşit” toplam düzene sahip düzenli yüksek çevre grafiği

Tanımlar

Let ve izin d , r , ve g (pozitif tamsayı olmak g > 2 r + 1 ).$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Let , bir basit d , en azından çevresi olan -Normal, yönlendirilmeyen, sonlu grafik g .$G = (V,E)$$d$$g$

Izin vermek V toplam sipariş olmak .$\le$$V$

Her biri için , izin V v ⊆ V mesafesi içindedir düğüm oluşur r den v içinde G (en kısa yol v birisine u ∈ V v en sahip r kenarları) ve izin G v alt grafiğinin olmak ve G ile uyarılan V v . G'nin yüksek bir çevresi olduğunu varsaydığımızı hatırlayın ; dolayısıyla G v bir ağaçtır. Let ≤ v kısıtlanması ≤ için$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ .$V_v$

Bu, bir kenar söylemek olan iyi ise ( G u , ≤ u ) ve ( G v , ≤ h ) izomorfik. Yani, bitişikleri ( { x , y } ∈ E iff { f ( x ) , f ( y ) koruyan bir f : V u → V $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) ve düzen ( x ≤ y iff f ( x ) ≤ f ( y ) ). Aksi takdirde kenarkötüdür.$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Biz demek ise ε -iyi en azından varsa ( 1 - ε ) | E | iyi kenarlar.$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Soru

Let . Bir orada var mı ε -iyi çifti ( G , ≤ ) herhangi £ değerinin > 0 ve her r ve g ile ( r « g )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Uyarılar:

• Genel bir için cevabı bilmek istiyorum , ancak d = 4 ilk önemsiz durum.$d$$d = 4$

• boyutu , sınırlı olduğu sürece önemli değildir. G inşasına ihtiyacım yok ; sadece var olmak veya yok olmak yeterlidir.$G$$G$

Örnekler

• Eğer , cevabı "evet" tir. Yeterince uzun bir döngü alabilir ve döngü boyunca düğümleri sipariş edebiliriz. Kenarın yakınında en büyük ve en küçük düğümü birleştiren bazı kötü kenarlar vardır, ancak diğer tüm kenarlar iyidir: neredeyse tüm düğümler v için , çift ( G v , ≤ v ) sadece 2 r + 1 düğümlü bir yoldur artan bir düzen.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Eğer , cevabı "evet" tir. Sadece düzenli yüksek bir grafik alın.$r = 0$

• Eğer yeterince küçüktür, cevap herhangi için bile "evet" d . Sadece ( d / 2 ) boyutlu bir ızgara grafiği alın (sınırları d- düzenli yapmak için etrafına sarılmış olarak ) ve düğümleri koordinatlarına göre sözlüksel olarak sıralayın. Yine ızgaranın sınırlarına yakın bazı kötü kenarlarımız var, ancak kötü kenarların sayısını keyfi olarak azaltabiliriz.$g$$d$$(d/2)$$d$

• Eğer sonlu olması gerekmez, cevap herhangi için bile "evet" d . Düzenli sonsuz bir ağacın tüm kenarları iyi olacak şekilde toplam düzeni vardır.$G$$d$

• Eğer tekse ve r yeterince büyükse, cevap "hayır" dır. Özünde, Naor ve Stockmeyer (1995) her düğümün en az bir iyi olmayan kenara rastladığını göstermektedir.$d$$r$

Arka fon

(Bu bölüm güvenle atlanabilir.)

Soru dağıtılmış bilgi işlemin temelleri ve özellikle de yerel algoritmalar ile ilgilidir .

$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Birçok klasik grafik problemi için, toplam bir düzenin yardımcı olmadığı bilinmektedir (çok daha zayıf ilişkiler esasen aynı miktarda simetri kırıcı bilgi sağlar), ancak bazı durumlar hala açıktır - ve tüm yüksek- çevre grafikleri bir atılım olabilir.

$(G,\le)$

$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Ayrıntılar için, bkz . ArXiv: 1201.6675 .