XORifikasyonun Kullanım Alanları

XORification her değişken değiştirerek bir Boole fonksiyonu ya da formül zorlaştırmaya tekniktir ve XOR ile k ≥ 2 farklı değişkenler X 1 ⊕ ... ⊕ x k . $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

Bu tekniğin kanıt karmaşıklığı içindeki kullanımlarının farkındayım, özellikle çözünürlük tabanlı kanıtlama sistemleri için alandan daha düşük sınırlar elde etmek, örneğin kağıtlarda:

• Eli Ben-Sasson. Boyut alanı çözünürlük için dengeler. STOC 2002, 457-464.
• Ben-Sasson ve Jakob Nordström Karşılaştırması. İspat Karmaşıklığında Mekanı Anlamak: Yerine Koyma ve Yerine Koyma İşlemleri. ICS 2011,401-416.

Bu tekniğin başka alanlarda başka kullanımları var mı?

İşte şu anda sınıfımda ele aldığımız biraz alakalı bir örnek.

"Depolama erişim işlevi" bitlerinde şu şekilde tanımlanır :$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

burada , { 1 , … , 2 k } içindeki a 1 ⋯ a k dizesine karşılık gelen benzersiz tamsayıdır .$bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

hakkında boyutta formülleri vardır O ( k ⋅ 2 k ) vardır: over VE / VEYA / DEĞİL 2 k olası tüm gruplar k -ANDs üzerinde bir $SA$$O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$ , değişken böylece tam bir grup çıkışı , her girişi. Sonra VE her bit x i karşılık gelen grubun çıkışı ile, sonra VEYA tüm bu çıkışlar.$1$$x_i$

Ancak, 2 k + 1'de aşağıdaki "XOR SA" fonksiyonu$2^{k+1}$ girişlerde AND / OR / NOT üzerinden yaklaşık boyutlu formül gerektirir :$2^{3k}$

.$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

Buna literatürde sıklıkla "Andreev'in işlevi" denir. Hastad , ( Andreev'in argümanının bir bileşenini geliştirerek) kübik boyutlu formüllerin gerekli olduğunu kanıtladı . (Bunun için neredeyse kübik boyutlu formüller bulmak zor değildir.)

$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

Günümüzde bu teknik, tipik olarak zayıf bir yapıyı (taahhüt şeması, habersiz aktarım protokolü, vb.) Güçlü bir yapıya yükseltmek için kriptoda oldukça standarttır.