Kaç tane totoloji var?

Verilen , nasıl birçok k -DNFs ile n değişkenleri ve m totoloji maddeleri nelerdir? (veya kaç tane$m, n, k$$k$$n$$m$ CNF tatmin edilemez?)$k$

Cevap , m ve n'ye bağlıdır . Kesin sayımlar genellikle bilinmemektedir, ancak k , m , n'nin çoğu ayarı için ya hemen hemen tüm k- SAT örneklerinin tatmin edilebilir olduğu ya da neredeyse tüm örneklerin tatmin edilemez olduğu bir "eşik" fenomeni vardır . Örneğin, k = 3 olduğunda , ampirik olarak, m < 4.27 n olduğunda , 3-SAT örneklerinin o ( 1 ) fraksiyonu hariç hepsinin tatmin edilebilir olduğu ve m > 4.27 n olduğunda , a o hariç hepsinin$k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$$o(1)$ fraksiyon tatmin edilemez. (Bilinen sınırların kanıtları da vardır.)

Bir başlangıç ​​noktası "k-SAT Eşiğinin Asimtotik Sırası" .

Amin Coja-Oghlan da bu tatmin edilebilirlik eşiği sorunları üzerinde çok çalışmıştır .

Bu, Ryan'ın cevabını tamamlamak için genişletilmiş bir yorumdur, bu da cümle sayısının, örneğin neredeyse kesinlikle tatmin edilemeyecek kadar büyük olduğu eşiklerle ilgilidir . Ayrıca, cümle sayısının n'nin bir fonksiyonunu aştığında tatmin edilemezliği zorladığı çok daha büyük eşik değerleri de hesaplanabilir.$n$ .

Bazı teknik sorunların ele alınması gerektiğini unutmayın. Tekrar maddeleri sayılır durumunda , o zaman m değiştirmeden arzu gibi büyük yapılabilir , n . Bu, m ve n arasındaki çoğu ilişkiyi yok eder . Öyleyse m'nin ayrı yan tümce sayısı olduğunu varsayın . Örneklerin kodlanmış olup olmadığına başka bir ayrıntıya karar vermeliyiz, böylece bir cümle içindeki değişmezlerin sırası veya bir örnek içindeki cümle sırası. Bunun önemli olmadığını varsayalım, bu nedenle aynı cümleleri içerdikleri takdirde iki örnek eşdeğer olarak kabul edilir ve aynı değişmez değerleri içerdikleri takdirde iki deyim eşdeğer olarak kabul edilir. Bu varsayımlarla artık ifade edilebilecek farklı hükümlerin sayısını sınırlandırabiliriz$m$$m$$n$$m$$n$$m$ değişken. Her fıkra, her bir değişkenin pozitif veya negatif olarak meydana gelmesine veya hiç olmamasına ve ardından m ≤ 3 n'ye sahip olabilir .$n$$m\le 3^n$

İlk olarak kısıtlamadan SAT'ı düşünün . Örneğin tatmin olabileceği en büyük m nedir ? Genelliği kaybetmeden, sıfırıncı atamanın bir çözüm olduğunu varsayabiliriz. Daha sonra var 3 N - 2 , n , en az bir evrik hazır ihtiva eden bu çözelti ile uyumlu farklı maddeler, her biri. Dolayısıyla, tatmin edici herhangi bir örnek için m ≤ 3 n - 2 n . Her biri en az bir olumsuzlanmış değişmezi içeren tüm maddelerden oluşan örnekte bu kadar fazla cümle bulunur ve tamamen sıfır atamasından memnun kalır. Ayrıca, güvercin deliği prensibi ile en az 3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$$3^n-2^n+1$

$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

$k$$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$ clauses in which there are no negative literals, so $m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$ for satisfiable instances, and any larger $m$ is unsatisfiable. There are then $2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$ instances satisfied by any particular assignment, out of the total of $2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$-SAT instances.