Düzlemsel grafiklerde ortak bir kaynağa sahip min-max tepe-ayrık yollar bulma

Düzlemsel ağırlıksız grafik ve tepe çiftleri topluluğu verilen ( k ≥ 2 , arayan bir sabittir) k gelen yolları (kaynak hariç) tepe-gg ayrık s için t ı bu en uzun yol uzunluğu en aza indirilir.$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

Soru: Problem için bir polinom-zaman algoritması var mı?

İlgili bazı sonuçlar:

• Eğer sorun sabit değildir olan NP-zor olsa bile, t 1 = ⋯ = t k ;$k$$t_1=\dots=t_k$
• giriş grafiği ağırlıklıysa ve yol kaynakları çakışmıyorsa, yani yollar ise, problem k = 2 için bile NP-zordur ;$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• farklı hedeflerle ilgili bir sorun, yani yol uzunluklarının toplamını en aza indirmek,

  • çakışan kaynaklar için minimum maliyet akışı algoritması ile çözülebilir;
  • Çakışmayan kaynaklar ve genel için NP-sert ;$k$
  • çakışan kaynaklara açık ve sabit .$k$

Bu tam olarak sorduğunuz gibi değil, ancak k sabit değilse ancak girdinin bir parçasıysa sorun NP-tamamlanmış demektir .

Bu söyler Holst der ve Pina [HP02] de Van teoreminin 1 kanıtı izler: düzlemsel grafik verilen G , ayrı noktalar s ve t de G ve pozitif tamsayı k ve b , karar vermek için NP tamamlandıktan s ve t arasında en fazla her bir uzunluk için k çift ​​dahili köşe-ayrık yol olup olmadığı b .

Teorem 1'in açıklamasındaki sorunun iki açıdan sizinkinden farklı olduğunu unutmayın. Bir fark, bahsettiğim gibi, k'nin girdinin bir parçası olarak verilmesi. Diğeri, [HP02] 'deki sorunun ortak bir kaynağa ve farklı lavabolara sahip yollar yerine ortak uç noktalara sahip yollarla ilgili olmasıdır. İlk farkı nasıl düzelteceğimi bilmiyorum; fark o kadar büyük ki, k'yi düzeltmek için tamamen farklı bir kanıta ihtiyacımız olacak . Ama en azından ikinci farkın nasıl düzeltileceğini biliyorum.

[HP02] 'deki Teorem 1'in kanıtı, 3SAT'tan bir azalma sağlar. Bu indirgeme, aşağıdaki özelliğe sahiptir: Örneğin (de G , s , t , k , b azalma ile oluşturulan), tepe derecesi t her zaman için eşit k . Let t ₁ , ..., t _k olmak k komşu t . Daha sonra, s ve t arasında her bir uzunluk için en fazla b olmak üzere k çift ​​dahili olarak köşe-ayrık yol olup olmadığını sormak yerineBiz aynı ikili tepe-ayrık-dışında kaynak yolları olup olmadığını sorabilir p ₁ , ..., p _k her biri böyle P _ı arasında bir yol olduğunu s ve t _i en uzunluğunun b -1.

[Van02] H. van der Holst ve JC de Pina. Düzlemsel grafiklerde uzunluk sınırlı ayrık yollar. Kesikli Uygulamalı Matematik , 120 (1-3): 251-261, Ağustos 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3