Graph Isomorphism Problem için bir boşluk amplifikasyon sonucu var mı?

Diyelim ki ve , tepe noktasında yönlendirilmemiş iki grafiktir . Bir permütasyon mevcuttur, ancak ve ancak grafikleri izomorfik öyle ki , ya da daha çok resmi, bir permütasyon varsa öyle ki bir kenarıdır ve ancak eğer $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ İçinde bir kenar . Grafik İzomorfizmi Problemi, verilen iki grafiğin izomorfik olup olmadığına karar verme problemidir. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Dinur'un PCP Teoremi ispatı tarzında "boşluk büyütme" üreten grafikler üzerinde bir operasyon var mı ? Başka bir deyişle, den ye kadar bir polinom zaman hesaplanabilir dönüşümü var mı? $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

Eğer ve , izomorfik sonra ve de izomorfik ve $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
Eğer ve G 2 izomorf değildir, daha sonra her bir permütasyon için tt , grafik G ' 1 "dir ε gelen -far" TT ( G ' 2 ) bazı küçük sabiti £ değerinin , ε -far demektir seçtiğimiz halinde ( i , j ) eşit rastgele, olasılık ile £ değerinin ya da
- bir kenarıdırve bir kenarı değildirveya $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- bir kenarı değildirve bir kenarıdır. $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Andre Chailloux
kaynak

@domotorp: “Polinom-zaman dönüşümü”, giriş ve çıkışının her ikisi de dizge olan deterministik bir polinom-zaman Turing makinesine atıfta bulunmak için standart bir terminolojidir. Bu durumda, bu Turing makinesi giriş olarak çifti (G1, G2) alır ve çıkış olarak çifti (G′1, G′2) üretir. Her grafik, örneğin bitişik bir matris olarak kodlanır.

— Tsuyoshi Ito

PCP teoreminin herhangi bir NP probleminde geçerli olduğunu düşündüm, bu yüzden özellikle Grafik İzomorfizmi için geçerli mi olmalı?

— Denis

@dkuper Yazar, grafik izomorfizmi örneklerini daha büyük bir boşlukla grafik izomorfizmi örneklerine indirgeyen boşluk arttırıcı bir azalma olup olmadığını sormayı; PCP Teoremini doğrudan sormuyor, sadece yaklaşımın

— zorluğunu

Muhtemelen uzun bir atış, ancak durum böyle olsaydı, o zaman grafik izomorfizmini kuantum polinom zamanında çözebileceğinizi söyleyebilir miydiniz?

— Neal Young,

Şu andaki bilgi durumuyla tutarlıdır; SAT bile doğrusal zaman algoritmasına sahiptir, bu yüzden yazdıklarınızın bilinmediği gibi görünüyor. Eğer öyleyse, lütfen cevabınıza bir referans ekleyin.

— Kaveh

Böyle bir şeyin var olup olmadığını bilmiyorum. Ancak, böyle bir "boşluk büyütme" nin, grafik izomorfizmi için (yakın zamanda açıklananlardan farklı olarak) bir quasipolynomial zaman algoritması anlamına geldiğine dikkat etmek ilginçtir (ve belki de zamanında).

Olarak , bu kağıt , yaklaşık bir algoritma kenarları / olmayan kenarlarının eşleşen çiftleri en üst düzeye çıkarma "MAX-PGI" sorunu için verilmiştir; eğer GI'dan "Gap-MAX-PGI" 'ya düşersek, o zaman boşluğun hangi tarafında olduğumuzu ayırt etmek için yaklaşık yapabiliriz.

Bu yüzden, Dinur'un PCP teoremine dair kanıtının, üstesinden gelinmesi gereken engeller göz önüne alındığında, böyle bir "boşluk yükselticisine" doğrudan genellenmesinin mümkün olmadığını düşünüyorum .

— Joe Bebel
kaynak