En Kısa Yollar için Aksiyomlar

Yönlendirilmemiş ağırlıklı bir grafiğimiz $G = (V, E, w)$ (negatif olmayan ağırlıklarla) varsayalım . en kısa yolların $G$ benzersiz olduğunu varsayalım . Bu yollarımız olduğunu (ağırlıksız kenar dizileri), ancak kendisini bilmediğini varsayalım . Bu yolları polinom zamanında en kısa olarak verebilecek herhangi bir üretebilir miyiz ? Daha zayıf versiyon: böyle bir olup olmadığına polinom zamanda karar verebilir miyiz ? $\binom{n}{2}$ $G$ $G$ $G$

Bariz gereken koşul şudur: her yol çifti için kesişimleri de bir yoldur. Bu durum yeterli mi?

— ilyaraz
kaynak

Girdi hakkında kafam karışmalı: Eğer en kısa yolların birleşiminde , bir döngüde

olmak üzere iki köşeniz

u, v

$u,v$ varsa, aralarında iki yol vardır (mutlaka en kısa olanı) ve biri diğerinizden daha kısa olmalıdır. benzersizlik durumu

— Suresh Venkat

@Suresh: Ne almak istediğini bilmiyorum. G grafiği tam grafikse, iki köşe arasındaki benzersiz en kısa yol tek bir kenardır ve tüm bu en kısa yolların birleşimi tam grafiktir.

— Tsuyoshi Ito

Bence cevap ağırlıklı bir grafiği yeniden oluşturmak için 'hayır', çünkü girişinizde herhangi bir kenar eksikse, aslında (a) grafikte eksik olabilir veya (b) gerçekten çok yüksek bir ağırlığa sahip bir kenar olabilir. Ağırlıksız versiyonun daha ilginç olduğunu düşünüyorum. Ayrıca, neden bulmak istediğimiz grafik ve ağırlıksız olarak verilen yollar?

— Artem Kaznatcheev

H

$H$ en kısa yolların birliği olsun .

H

$H$ aynı kısa yolları üretecek bir grafik olmamasının bir nedeni var mı? ya da, başka bir deyişle, verilen kısa yollar kısa yollar değilse bu durumda değil

H

$H$ , daha sonra en kısa yollar olduğu için bir grafik yer almaktadır?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Kenarlara hangi ağırlıkları atamalıyız?

— ilyaraz

Yanıtlar:

Aydınlatılmış bir arama yaparken bu eski soruya rastladım ve yakın zamanda bu makalede paylaşabileceğim cevaplar aldım. Umarım iş parçacığı büyücülük ve kendini geliştirme kombinasyonu affedilebilir.

Bu yolları polinom zamanında en kısa olarak verebilecek herhangi bir G üretebilir miyiz? Daha zayıf versiyon: böyle bir G'nin olup olmadığına polinom zamanda karar verebilir miyiz?

Cevap her ikisine de evet. Mohammad'ın algoritması kesinlikle işe yarıyor, ancak kübik ayırma oraklesini çalıştırma ihtiyacını ortadan kaldıran daha hızlı ve daha doğrudan bir yöntem var. Let her bir kenar ağırlığı yardımcı bir yönsüz ağırlıklı grafiktir olması birçok belirleyen bir tam sayı olduğu girişi alınan yolları bu kenarı içerir. Şimdi, hedefin her bir düğüm çifti arasında aynı anda 1 birim akış itmek olduğu üzerinden (kenar ağırlıklarını kapasite olarak yorumlayarak) kenar kapasitif çoklu ürün akış örneğini düşünün . Açıkçası, bu MC akış örneği, girdide verilen yollar boyunca akışı doğal bir şekilde iterek tatmin edilebilir. Anlaşıldığı gibi, mizi $H = (V, E, w')$ $e \in E$ $n \choose 2$ $H$ $n \choose 2$ yollar, yalnızca akış örneğini karşılamak için benzersiz bir yol ise bazı benzersiz en kısa yollardır . MC akış fizibilitesi artı belirli bir özenle seçilmiş objektif fonksiyon için kısıtlamaları olağan olan bir LP kurarak benzersizliği test edebiliriz ve tatmin edici bir kenar ağırlıkları bu LP'nin ikisinden çıkarılabilir. $G$ $G$

Bariz gereken koşul şudur: her yol çifti için kesişimleri de bir yoldur. Bu durum yeterli mi?

Bu duruma bazen "tutarlılık" denir (herhangi bir ikisinin kesişimi her birinin alt yolu ise, bir dizi yol tutarlıdır). Yukarıdakilerden tutarlılık yeterli değildir. En küçük-iki karşı örneklerden biri, altı düğüm üzerinde dört yoldan oluşan aşağıdaki renk kodlu sistemdir:

Başka bir deyişle, burada gösterilen 8 kenara ağırlık atamanın bir yolu yoktur, böylece bu dört yolun hepsi aynı anda uç noktaları arasındaki benzersiz en kısa yol olur. Bununla birlikte, herhangi bir çift sadece bir düğüm üzerinde kesişir, bu yüzden tutarlıdırlar (bunları toplamda için doğru şekilde birkaç ek yolla doldursak bile ). Bunun gibi sonsuz sayıda karşı örnek vardır; bir karakterizasyon için makaleye bakınız. $n \choose 2$

Tüm bunlar hakkında üç hızlı yorum:

Herkes için umut edebileceğiniz benzer ifadeler, yönlendirilmemiş grafikler yerine yönlendirilmiş ortamda iyi durumdadır,
Bu teorinin, en kısa yolların nasıl yapılandırılabileceği konusunda bazı ek kavrayışlara ve sezgilere yol açan hoş bir topolojik yorum vardır ve
Bazı teknik nedenlerden ötürü, teori, yönlendirilmemiş veya (döngüsel) yönlendirilmiş grafikler yerine DAG'ların oluşturulmasında uygun bir şekilde basitleşir.

— GMB
kaynak

Sorunu LP olarak yazabilirsiniz, değil mi? U, v ve u'dan v'ye herhangi bir P yolu için, P'nin ağırlığı u ve v arasındaki verilen en kısa yolun ağırlığından büyük veya ona eşittir. Bunların hepsi doğrusal eşitsizliklerdir ve üstel olarak birçok, ayırma problemi P'dir (sadece bir çift en kısa yol problemidir). Böylece, çözmek için Elipsoid algoritmasını kullanabilirsiniz.

— Mohammad
kaynak