Mobius fonksiyonunun hesaplanması

13

Mobius fonksiyonu olarak tanımlanır , eğer karesi ana faktör vardır ve tüm farklıysa. O hesaplamak mümkün mü ait asal çarpanlara bilgisayar olmadan ? $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— Craig Feinstein
kaynak

6

Bence sadece bir çarpanlara ayırma sağlamadığı bilinen

hesaplamanın bir yolu olup olmadığını soruyor

μ (n)

$\mu(n)$ .

— Suresh Venkat

2

@Kaveh, burada hesaplama karmaşıklığından bahsetmiyorum. Suresh yorumunda doğrudur. Bir sayının çarpanlarına ayrılmadan kompozit olduğunu belirlemeye benzer. Mobius fonksiyonu için böyle bir şey de yapılabilir mi?

— Craig Feinstein

1

Bunun gerçek bir soru olduğunu sanmıyorum. Ben cstheory biz sıkı olduğunu hatırlatmak için yararlı olabileceğini düşündük krank dostu konular karşı politikasını sen fikirleri reklam vermek denemek durumunda bu .

— Kaveh

3

@Kaveh, 4 başparmak yukarı olan ciddi bir soru sordum. Tabii, cevabım 8 başparmak aşağı indi, ama bu hayat. Soruya cevabımı bugüne kadar bilmiyordum, bu yüzden cevabı gönderdim. Bana öyle geliyor ki, burada bir tür ön nedenim olduğunu iddia ederek beni dışlamaya çalışıyorsun. Soruyu cevaplamaktan başka hiçbir ön nedenim olmadığından emin olabilirim.

— Craig Feinstein

5

@Kaveh: OP, birçok forumda iyi bilinen bir trisektördür. Yani, hiç birine kaba davrandığını gördün mü? Yapmadım. Sadece alt sınırları kanıtlamanın ne demek olduğunu yanlış anlıyor. Soru bana konu ile ilgili gibi geliyor. Bir deyiş vardır: "Durmuş bir saat bile günde iki kez doğrudur."

— Aaron Sterling

34

Sorunuza cevap vermeyenlerden biri, SQUARE-FREE'nin (kare içermeyen bir sayı) kendisinin P olarak bilinmediği ve Möbius işlevinin hesaplanması bu sorunu çözeceğidir (karesız bir sayı ). $\mu(n) \neq 0$

— Suresh Venkat
kaynak

7

kare freeness'in karmaşıklığını tartışan herhangi bir makale biliyor musunuz? bulabildiğim tek şey şu: formül boyutuna daha düşük sınırlar veren dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE . mathoverflow.net/questions/16098/… bakarak, faktoring kare freeness için azaltmak mümkün olup olmadığı hakkında çok şey bilinmemektedir düşünüyorum.

— Sasho Nikolov

15

Olmayan başka cevap için, Sarnak spekülasyonlarına ilgilenen olabilir (örneğin bkz http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http: //rjlipton.wordpress .com / 2011/02/23 / mobius işlevinin derinliği / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ) temel olarak Möbius işlevinin herhangi bir “basit” Boole işleviyle ilişkili olmadığını belirtir. “Basit” polinom-zaman olarak yorumlandığında tutması beklenemez. Şimdiye kadar bildiğimiz şey, varsayımın fonksiyonları ( Ben Green tarafından kanıtlandı ) ve tüm monoton fonksiyonlar ( Jean Bourgain tarafından kanıtlandı ) için geçerli olduğudur . $\mathrm{AC}^0$

— Emil Jeřábek
kaynak

4

Bence bu Ben Green gazetesi: arxiv.org/abs/1103.4991

— Suresh Venkat

0

Mobious fonksiyonun değerleriyle ilgili özyinelemeli formüllerden biri Ancak için mobious değerleri bilmemiz gerekir . Bu nedenle Burada bölünüyor küçük pozitif tamsayılar tarafından , biz onlar faktörleri olup olmadığını bilmek gerekmez zaman kare faktörü var! ( ), Ama yine de bunu sonuçlandırmak için faktörlerini bilmeliyiz !! Bu nedenle:

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$

μ (n)

$\mu(n)$

m < n

$m < n$

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$

n

$n$

m < n

$m<n$

n

$n$

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ Bu bakın: formülün kanıtı için https://projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829 .

— Hunde Eba
kaynak

Cevabını beğendim. Maalesef makaleye erişimim yok. Ben n faktörleri bilerek hakkında sizinle tartışmaya olacaktır: Varsayalım . Bu formülü kullanarak, 5'e bölerek, uzun bölümü kullanarak, 24'ün 5'in 0'ın geri kalanıyla 120'ye eşit olduğunu görürsünüz, bu nedenle 120/5'in en büyük tamsayı işlevini hesaplama sürecinde, 5'in 120, hatta bir faktör olduğunu görürsünüz. ancak bu gerçeğin formülün çalışmasını bilmek gerekli değildir.

n = 120

$n=120$

— Craig Feinstein

Düzenlenmiş sürümü kontrol edin !! @Craig

— Hunde Eba

-22

Let , nerede farklı asal vardır. SonraDaha sonra hesaplamak için, her için hesaplamak . Bu dolaylı olarak birincil çarpanlara ayırma işlemi olduğunu gerektirir . $n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

İşte bir benzetme: Bir kavanozda tek veya çift sayıda jöle fasulye olup olmadığını bilmek için, jöle fasulye saymak gerekir. Bu nedenle, bir kareyle bölünemediğinde, Mobius işlevini hesaplamak için bir sayının birincil çarpanlarına ayırmasını hesaplamanız gerekir. Ancak bir kavanozda birden fazla jöle fasulyesi olduğunu bilmek için, kavanozdaki jöle fasulyesinin hiçbirini incelemeye gerek yoktur. Biri sadece kavanozu sallayabilir ve birden fazla jöle fasulyesi olduğunu duyabilir. Bu yüzden kompozit olduğunu bilmek için bir sayıyı hesaba katmanız gerekmez. Fermat'ın Küçük Teoremi gibi algoritmalar, kompozit olduğunu bilmek için kişinin "sayıyı sallamasına" izin verir.

Ne zaman bir kare ile bölünebilir, sen asal çarpanlara hesaplamak gerekmez . Ancak önemsiz olmayan bir faktörünü bulmanız gerekir : kare ise, karenin olduğunu belirlemek için katkılı olmayan bir faktörün bulunduğu kare kökünü almanız gerekir . Eğer Daha ziyade, bir kare değil ama belirlemek amacıyla, squarefree hala değildir , bir aşikar olmayan bir faktör bulmak için gerekli olan . $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— Craig Feinstein
kaynak

6

@Craig Hala yanlış. Peter Shor'un söylediği gibi kompozit test problemi için aynı (yanlış) argümanı kullanabilirsiniz. Temelde probleminiz için bir algoritma veriyorsunuz ve ilerlemenin tek yolu olduğunu söylüyorsunuz. Bir problemi çözmek için bariz bir algoritmanın en iyi olduğunu göstermek karmaşıklık teorisindeki en büyük zorluklardan biridir.

— Michael Blondin

6

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$ . Burada sözde argümanın nasıl başarısız olduğunu görebiliyorsanız, cevabınızda nasıl başarısız olduğunu görebilmelisiniz.

— Michael Blondin

14

Re "Bir kavanozda tek veya çift sayıda jöle fasulye olup olmadığını bilmek için, jöle fasulye saymak gerekir." - bu bile doğru değil. Onları çiftler halinde (bir tanesi benim için bir tane) dışarı çıkarken saymadan çekebilirsin. Sonra çekmek için çift bittiğinde, ya sıfır ya da bir tane kaldı ve paritesi biliyorsun.

— David Eppstein

12

Sayımın zor olduğu ancak paritenin kolay olduğu bir problem için, 0-1 matris kalıcılığını düşünün . (Bu, iki taraflı bir grafikteki mükemmel eşleşme sayısı ile aynıdır.) Kalıcılığın paritesi, polinom zamanında hesaplanabilen determinantın paritesi ile aynıdır. Ancak kalıcılığı değerlendirmek # P-tam ve dolayısıyla NP-zor.

M

$M$

— Peter Shor

6

Craig, asal olarak çarpanlarına ayırmadan , evet, tamsayı kare kökü hesaplayarak (faktoringin aksine polinom zamanında hesaplanabilir olduğu bilinir) 69 ^ 2'dir. 69 faktörünü hesaba katmak zorunda değilim. Fasulye argümanınız faktoringin zorunlu olduğunu gösteriyor, çünkü her lezzetin birkaç kez meydana gelip gelmediğini kontrol etmek için her jöleye bakmanız gerekiyor.

— sdcvvc