Matris-çarpım üsünün tanımı

15

Lojik olarak, matris-çarpma üssünün tanımı, bilinen bir matris çarpma algoritmasının olduğu en küçük değerdir . Bu resmi bir matematiksel tanım olarak kabul edilemez, bu yüzden teknik tanım bir matris çarpma algoritması var ki tüm üzerinde sonsuz gibi bir şey sanırım . $\omega$ $n^{\omega}$ $t$ $n^t$

Bu durumda, veya de matris çarpımı için bir algoritma olduğunu söyleyemeyiz , sadece için bir algoritma var. . Bununla birlikte, çoğunlukla, matris çarpımını kullanan kağıtlar ve sonuçlar maliyetlerini basitçe olarak rapor edecektir . $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $\epsilon > 0$ $n^{\omega + \epsilon}$ $O(n^{\omega})$

bu kullanıma izin veren alternatif bir tanımı var mı ? veya zaman algoritmasının olması gerektiğini garanti eden sonuçlar var mı? Yoksa basitçe özensiz midir? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— David Harris
kaynak

2

Eğer sadece bir kara kutu şeklinde matris çarpma kullanmak istiyorsanız, en kolay yolu "Let demek ki

çarpın elimizden şekilde olmalıdır

ile -matrisleri

aritmetik işlemleri". Tabii ki,

o zaman matris çarpımının üssü değildir, ancak keyfi olarak yakın olabilir. Son çalışmanızın üssünü ondalık gösterimle belirtmek isterseniz, şu anda yine de yuvarlamanız gerekir, çünkü bildiğim

için tüm önemsiz tahminler irrasyonel sayılar veya sonsuz dizilerdir.

ω

$\omega$

n \times n

$n \times n$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Markus Bläser

2

tipik olarak tüm realse fazla infimum olarak tanımlanır

için

olacak

bir olduğu gibi

zaman algoritması çarpar iki

zaman içinde ilave, çarpma ve bölüm sayısı matrisleri ( temel alan). Bu aynı zamanda teknik olarak her zaman

yazmamız gerektiği anlamına gelir,ancak bu dağınık hale gelir, bu yüzden

gördüğünüzde

ω

$\omega$

k

$k$

n

$n$

\infty

$\infty$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n \times n

$n\times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

burada

bir matris çarpma algoritmasının çalışma zamanıdır.

O (M (n))

$O(M(n))$

M (n)

$M(n)$

— virgi

20

Matris çarpım üstel olarak zaman içinde hareket eder bu bir algoritma var olduğunu garanti etmez , ancak her biri için sadece , bir algoritma var olmasıyla çalışır . Gerçekten de zamanında çalışan bir algoritma bulabilirseniz , bu olduğunu gösterir . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

Resmi tanımı, Peter Bürgisser, Michael Clausen, Amin Shokrollahi'nin Cebirsel Karmaşıklık Teorisi kitabında bulabilirsiniz.

— MCH
kaynak

7

Yorum yapmak için çok uzun olan küçük bir yorum:

Bazen her için çalışma zamanı olan bir algoritma olduğunda bir sorun olduğunda, çalışma zamanı olan bir algoritma vardır . $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

Örneğin, bazen sizin gibi gitmek algoritmaları olsun bazı hızlı büyüyen fonksiyonu için (gibi ). (say) ayarlarsanız , o (1) olur. İle örnekte olmak seçebilirsiniz $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ olduğu verir, (1) n olup,. Dolayısıyla bu algoritmanın son çalışma süresi , çünkü de . $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Robin Kothari
kaynak

Coppersmith-Winograd algoritmasının bu kategoriye girdiğini hayal ediyorum?

— David Harris

2

@DavidHarris: Bunu bilmiyorum. Belki algoritmayı anlayan biri buna biraz ışık tutabilir. Sadece sık sık demek istedi

göründüğü kadar bad olarak değil.

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— Robin Kothari

5

Bu iyi bilinen ve sonuçları bu Bakırcı ve winograd arasında -zaman tek bir algoritma ile fark edilemez. Ancak Strassen benzeri bilinear kimliklere dayanan algoritmalarla sınırlı olduklarını okudum , bu yüzden kağıt bir ödeme duvarının arkasında olduğundan emin değilim. $O(n^{\omega})$

— didest
kaynak

3

"bilinen bir matris çarpma algoritması olan en küçük değer" tarafından iyi tanımlanmadığı sorusundaki katılmıyorum . İnsanlar bu sabiti kullandıklarında, bunun nedeni algoritmalarının bir matris çarpımına bağlı olması ve karmaşıklığı ile "algoritmamızın optimal karmaşıklığının, matris çarpımı için optimal algoritma tarafından verildiği" anlamına gelir. $\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

Aksi tanımlamanın mümkün olmadığını söylemiyorum (örneğin ulaşılabilir en iyi karmaşıklık olduğunu söylemek ). $\omega$ $\omega$

Btw, matris çarpımı için en iyi bilinen üst sınır, yanılmıyorsam yükseltildi . $2.3737$

— Bruno
kaynak

3

İnsan bilgisinin nasıl matematiksel bir tanımın parçası olabileceğini anlamıyorum

— David Harris

2

Son deneyimler, şu anda insanlık ;-) tarafından bilinen tüm algoritmalara kıyasla tüm algoritmalar üzerinde

— nicemlemenin