Hakemle iletişim karmaşıklığı

İki karmaşık A (bit) ve B (ob) ve R (eferee) oyuncularımızın olduğu iletişim karmaşıklığında bir çerçeve varsayalım. A ve B birbirleriyle doğrudan iletişim kurmazlar. Her iletişim turunda, her biri bir mesaj gönderir ($m_A$, $m_B$) R'ye iki fonksiyon hesaplar $f_A(m_A,m_B)$ ve $f_B(m_A,m_B)$ve sonuçları onlara gönderir. Fonksiyonlar sabittir. Fikir, oyuncular arasındaki iletişimin kısıtlanmış olmasıdır. Ayrıca hakem mesajlar üzerinde işlem yapabilir.

Misal:

A ve B R'ye iki (rastgele büyük) sayı gönderir, R hangisinin daha büyük olduğunu kontrol eder ve oyuncuları bilgilendirir.

Bu çerçevede, aşağıdaki işlevi tek bir tur kullanarak kolayca hesaplayan basit bir protokol tasarlayabiliriz. A ve B gönderme$x$ ve $y$ R'ye, R onlara yanıtı döndürür ve yanıtı verir.

Açıkçası bu ilginç bir durum değil, çünkü hesapladığımız işlev hakem işlevleriyle aynı. Daha ilginç bir durum, sabit bir doğrusal eşitsizliğimiz olduğunda$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ ve değişkenlerin değerleri oyuncular arasında bölünür (A $\vec{x}$ ve B'nin $\vec{y}$). Görev, eşitsizliğin doğru olup olmadığına karar vermektir. Bu durumda protokol, oyuncuların kendi paylarını hesaplamaları ve daha sonra hakeme göndermeleridir.

Soru:

Bu tür bir iletişim karmaşıklığı incelendi mi? Evet ise, bununla ilgili daha fazla bilgiyi nerede bulabilirim?

not 1: sayfa 49 Kushilevitz ve Nisan hakem içeren ancak istediğimden çok farklı görünen bir çerçeveden bahsetmektedir.

not 2: R'yi hakem çağırmanın doğru şey olup olmadığından emin değilim, daha iyi bir öneriniz varsa lütfen yorum yapın.

Eminim aşağıdaki makaleyi biliyorsunuzdur, ancak diğer okuyucuların ilgisini çekebileceği için bir bağlantı koydum: Oyunlar tarafından enterpolasyon

Bu makale, kesme düzlemleri için daha düşük sınırları göstermek için iletişim karmaşıklığı çerçevesini kullanma girişimidir. Protokol, tatmin edilemez CNF için bir interpolant devresi üretmek için kullanılır:

oyuncu $A$ girdi alır $a$ ve $y^a$, oyuncu $B$ alır $b$ ve $z^b$. Kesme düzlemlerinde sığ ağaç benzeri bir kanıt varsa, iki oyuncunun bir iletişim protokolü vardır,

• herhangi bir iletişim aracıya, kanıttaki eşitsizlikleri değerlendirmede yardımcı olan hakem aracılık eder;
• iletişim miktarı azdır (ağaç sığdır);
• iki oyuncu da $A$ veya $B$ yanlıştır;
• bir pozisyon bulurlar $i$ içinde $a_i \not= b_i$.

Hakem eşitsizlikler için olasılıklı bir protokole dönüştürülür. Bu şekilde, iletişim karmaşıklığı çerçevesindeki ağaç benzeri olasılık protokolleri için alt sınırı, ağaç benzeri kesme düzlemi kanıtları için alt sınıra dönüştürmek mümkündür.

PLS formunun iletişim protokolü için alt sınırımız olsaydı, o zaman dag benzeri kesme düzlemi kanıtları için alt sınır elde ederiz.

Bu tekniğin kesme düzlemlerinin gerçek çıkarım kurallarına bağlı olmadığına dikkat edin. Çıkarım kurallarının zeminle (1) pozitif kombinasyon (2) tamsayı bölümü olduğunu varsayarsak, Pavel Pudlák argümanını kullanarak monoton interpolant devresini oluşturabiliriz .

Sadece birkaç açıklama. İlk olarak, neden bir hakeme ihtiyacımız olduğunu tam olarak göremiyorum. Oyuncunun işlevi biliniyorsa, neden hakemi simüle edemezler? Alice gönderir$m_A$ Bob'a (görmeden) $m_A$) hesaplar $m_B$, bundan sonra hesaplar $f(m_A,m_B)$ve sonucu Alice'e söyler. Belki de$f_A$olduğu değil , Bob bildiği ve$f_B$ Alice bölgesine tatil paketleri

İkincisi, doğrusal eşitsizliklerle ilgili protokoller, kesme düzlemi kanıtlarının kesilmesi bağlamında gerçekten ilginçtir. Bu durumda, mesajların biçiminin çok kısıtlandığı protokolleri düşünmek bile yeterlidir : sadece giriş değişkenlerinin bazı doğrusal kombinasyonlarının değerleri iletilebilir.

Biraz daha kesin olmak gerekirse, tamsayı katsayıları olan bir doğrusal eşitsizlik sistemi verildiğini varsayalım. Sistemin$0$-$1$çözüm. Değişkenler bir şekilde oyuncular arasında bölünür (elli elli şekilde); bu "en kötü bölüm" senaryosudur: rakip "en kötü" bölümü seçebilir. Verilen$0$-$1$string, oyuncuların amacı tatminsiz bir eşitsizlik bulmaktır. Yani, cevap şimdi tek bir bit değil, sistemimizin bir eşitsizliğinin adı. (Bu bir Karchmer-Wigderson tipi iletişim oyunudur.)

Şimdi böyle bir oyun için aşağıdaki kısıtlı protokolleri göz önünde bulundurun: (i) hakemler $f(\alpha,\beta)=1$ iFF $\alpha \leq \beta$, (ii) oyuncuların mesajları doğrusal olanlarla sınırlıdır : her turda Alice formun mesajını göndermelidir$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ve Bob formun mesajı $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$.

Impagliazzo, Pitassi ve Urquhart (1994) aşağıdakileri gözlemledi: Kesme düzlemi kanıtlarında kullanılan tüm katsayılar değişken sayısında polinom ise ve bu oyunun ihtiyacı varsa$t$ iletişim bitleri varsa, verilen sistemin tatminsizliğinin her ağaç benzeri kanıtı üretmelidir. $\exp(t/\log n)$eşitsizlikler. Daha sonra üstel boyutta kanıtlar gerektiren açık bir sistem vermek için iletişim karmaşıklığına ilişkin bilinen düşük sınırları kullandılar. Bu sonucun dezavantajı, sistemin çok yapay olması , hiçbir "gerçek" optimizasyon problemine karşılık gelmemesidir. Bu nedenle "gerçek" bir optimizasyon problemi için alt sınır bulmak ilginç bir sorudur.

Bu tür problemlerden biri, grafikler için Bağımsız Küme problemidir. Bir grafik verildi $G=(V,E)$ her köşe ile ilişkilendirebiliriz $u$ bir değişken $x_u$ ve eşitsizlikten oluşan eşitsizlik sistemini göz önünde bulundurmak $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ve tüm eşitsizlikler $x_u+x_v\leq 1$ tüm kenarlar için $uv$ nın-nin $G$. Her zamandan beri$0$-$1$ Bu ikinci eşitsizliklerin alt sistemi için çözüm, $G$, tüm sistemin sıfır bir çözümü yoktur. Bu tür sistemler için oyunların iletişim karmaşıklığı nedir?

Eğer grafiğimiz $=(L\cup R,E)$ iki taraflıysa, değişkenleri parçalarına göre ayırmak doğaldır (düşman için). Bu durumda Alice bir altküme alır$A\subseteq L$, Bob bir alt küme $B\subseteq R$ vaadiyle $|A\cup B|>\alpha(G)$. Amaç arasında bir kenar bulmak $A$ ve $B$. Buraya$\alpha(G)$ "bipartit" bağımsızlık sayısıdır: tamamen uzanmayan bağımsız bir kümenin maksimum boyutu $L$ veya içinde $R$. En sevdiğim sorunlardan biri: Kanıtlamak$n\times n$ gerektiren grafikler $\omega(\log^2 n)$iletişim bitleri var .

@Kaveh: Sorunuzu sorularla "yanıtladığınız" için özür dileriz.